资源描述
高考解答题专项练三角综合1.设函数f(x)=2cos x(cos x+3sin x)(xR).(1)求函数y=f(x)的周期和单调递增区间;(2)当x0,2时,求函数f(x)的最大值.解(1)f(x)=2cosx(cosx+3sinx)=2sin2x+6+1,2k-22x+62k+2(kZ),k-3xk+6(kZ),函数y=f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)x0,2,2x+66,76,sin2x+6-12,1,f(x)=2sin2x+6+1的最大值是3.2.已知函数f(x)=2sin 24-x-3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)若f(x)m+2在x0,6上恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=1-cos2-2x-3cos2x=-(sin2x+3cos2x)+1=-2sin2x+3+1,所以T=.由2k-22x+32k+2(kZ),解得k-512xk+12(kZ).所以f(x)的单调递减区间为k-512,k+12(kZ).(2)因为x0,6,所以由32x+323,所以32sin2x+31.所以f(x)max=1-3,由1-3-1-3.3.已知f(x)=sin 2x-23sin2x+23.(1)当x-3,6时,求f(x)的取值范围;(2)已知锐角三角形ABC满足f(A)=3,且sin B=35,b=2,求三角形ABC的面积.分析(1)由两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形化简解析式,由x的范围求出“2x+3”的范围,由正弦函数的性质求出f(x)的取值范围.(2)由(1)和条件化简f(A),由锐角三角形的条件和特殊角的三角函数值求出A,由条件和正弦定理求出a,由诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC,代入三角形的面积公式求出三角形ABC的面积.解(1)f(x)=sin2x-23sin2x+23=sin2x-3(1-cos2x)+23=sin2x+3cos2x+3=2sin2x+3+3,由x-3,6,得2x+3-3,23,则sin2x+3-32,1,所以2sin2x+3+30,2+3,即f(x)的取值范围是0,2+3.(2)由(1)得f(A)=2sin2A+3+3=3,则sin2A+3=0,因为ABC是锐角三角形,所以A=3,因为sinB=35,b=2,所以由正弦定理得a=bsinAsinB=23235=53,因为ABC是锐角三角形,sinB=35,所以cosB=1-sin2B=45,所以sinC=sin(A+B)=sin3cosB+cos3sinB=3245+1235=43+310,所以三角形ABC的面积S=12absinC=1253243+310=6+323.4.(2018浙江杭州二中高考仿真)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos B=2a-b,(1)求C的大小;(2)若CA-12CB=2,求ABC面积的最大值.解(1)2bcosC=2a-3c,2sinCcosB=2sinA-sinB.2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB.2sinBcosC=sinB.cosC=12.C=3.(2)取BC的中点D,则CA-12CB=2=|DA|,在ADC中,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC注:也可将CA-12CB=2=|DA|两边平方,即4=b2+a22-ab22a2b24-ab2=ab2,所以ab8,当且仅当a=4,b=2时取等号.此时SABC=12absinC=34ab,其最大值为23.5.(2018浙江教育绿色评价联盟5月模拟)已知函数f(x)=sin x(cos x+3sin x).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=t在区间0,2上有两个不相等的实数解,求实数t的取值范围.解(1)因为f(x)=12sin2x+32(1-cos2x)=sin2x-3+32,所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)因为x0,2,所以2x-3-3,23.因为y=sinZ在区间-3,2上是增函数,在区间2,23上是减函数,所以f(x)在区间0,3上是增函数,在区间3,2上是减函数.又因为f(0)=0,f3=1+32,f2=3,关于x的方程f(x)=t在区间0,2上有两个不相等的实数解,等价于函数y=f(x)与y=t的图象在区间0,2上有两个不同的交点,所以要使得关于x的方程f(x)=t在区间0,2上有两个不相等的实数解,只需满足3t1+32.6.(2018浙江宁波5月模拟)已知函数f(x)=4cos xsinx-6-1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足f(B)=0,a=2,且D是BC的中点,P是直线AB上的动点,求|CP|+|PD|的最小值.解(1)f(x)=4cosx32sinx-12cosx-1=3sin2x-cos2x-2=2sin2x-6-2,由于-2+2k2x-62+2k,kZ,所以k-6xk+3,kZ.所以函数f(x)的增区间为k-6,k+3,kZ.(2)由f(B)=2sin2B-6-2=0,得2B-6=2,所以B=3.作点C关于AB的对称点C,连接CD,CP,CB,由余弦定理得(CD)2=BD2+(BC)2-2BD(BC)cos120=7.CP+PD=CP+PDCD=7,所以当C,P,D共线时,|CP|+|PD|取最小值7.
展开阅读全文