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07等差数列与等比数列1.已知an是等比数列,an0,且a52+a3a7=8,则log2a1+log2a2+log2a9=().A.8B.9C.10 D.11解析a52+a3a7=8,an0,且an是等比数列,2a52=8,a5=2.log2a1+log2a2+log2a9=log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log2a59=9log22=9,故选B.答案B2.在等比数列an中,an0,1a1,1a2,1a2+1成等差数列,且a1+2a2=2,则数列an的通项公式为.解析设等比数列an的公比为q,由an0知q0,由题意得1a1+1a2+1=2a2,即a1-a2=a1a2,a1q=1-q.又a1+2a2=2,a1+2a1q=2.由a1q=1-q,a1+2a1q=2,解得a1=1,q=12或a1=-2,q=-1(舍去),数列an的通项公式为an=12n-1.答案an=12n-13.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第1行的2个数的和,第2行的3个数的和,第3行的4个数的和,则第n行的n+1个数的和为.11第1行121第2行 1331第3行14641第4行解析1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的n+1个数的和为2n.答案2n4.已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)2,nN*.(1)求证:数列an是等差数列.(2)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+bn,求Tn.解析(1)Sn=an(an+1)2,nN*,当n=1时,a1=S1=a1(a1+1)2(a10),解得a1=1;当n2时,由2Sn=an2+an,2Sn-1=an-12+an-1,得2an=an2+an-an-12-an-1,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,an+an-10,an-an-1=1(n2).数列an是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得an=n,Sn=n(n+1)2,bn=12Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.Tn=b1+b2+b3+bn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.能力1等差、等比数列的基本运算【例1】设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析(法一)设等比数列an的公比为q(q0),则2S2=2(a1+a2)=2(a1+a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q),解得q=3,故an=3n-1.(法二)设等比数列an的公比为q,由3S1,2S2,S3成等差数列,易得q1,所以4S2=3S1+S3,即4a1(1-q2)1-q=3a1+a1(1-q3)1-q,解得q=3,故an=3n-1.答案3n-1在等差(比)数列问题中,最基本的量是首项a1和公差d(公比q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差(比)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.1.已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列bn的前15项和为().A.152B.135C.80D.16解析设等比数列an的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,得公比q=a2+a4a1+a3=3,首项a1=301+q2=3,所以an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列bn是等差数列,其前15项和为15(2+16)2=135.故选B.答案B2.设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=().A.2B.-2C.12D.-12解析由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12.故选D.答案D能力2等差、等比数列的基本性质【例2】(1)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160,S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)0,a90,da2a80,所以0S1S2S8,从而0S1a1S2a2S8a8.又因为当9n15,nN*时,an0,即Snan0,且a3a2n-3=22n(n2),则当n1时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n-1=.解析log2a1log+2a2log+2a3+log+2a2n-1log=2(a1a2a3a2n-1).设S=a1a2a3a2n-1,则S=a2n-1a2n-2a2n-3a1.两式相乘,得S2=(a3a2n-3)2n-1=22n(2n-1),所以S=2n(2n-1),故原式=n(2n-1).答案n(2n-1)2.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=.解析显然公比q1,则由S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1-q61-q3=1+q3=3,得q3=2,所以S9S6=1-q91-q6=1-231-22=73.答案73能力3等差、等比数列的判断与证明【例3】已知数列an的前n项和Sn=(an-1),其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)当=2时,求i=1na2i.解析(1)由题意得a1=S1=(a1-1),故1,a1=-1,a10.由Sn=(an-1),Sn+1=(an+1-1),得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0,得an0,所以an+1an=-1,因此an是首项为-1,公比为-1的等比数列,于是an=-1n.(2)由(1)可知,当=2时,an=2n,故i=1na2i=a2+a4+a2n=4(1-4n)1-4=4(4n-1)3.判断或证明数列是否为等差、等比数列,一般是依据等差、等比数列的定义,或利用等差中项、等比中项进行判断.利用an2=an+1an-1(n2,nN*)来证明数列an为等比数列时,要注意数列中的各项均不为0.记Sn为等比数列an的前n项和,已知a3=-8,S3=-6.(1)求数列an的通项公式;(2)求Sn,并证明对任意的nN*,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.解析(1)设数列an的公比为q,由题设可得a1q2=-8,a1(1+q+q2)=-6,解得q=-2,a1=-2,故数列an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.能力4公式an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n2,nN*)的应用【例4】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=,Sn+1=Sn+(nN*),其中常数1.(1)求证:数列an是等比数列.(2)若数列bn满足bn=1nlog(a1a2an)(nN*),求数列bn的通项公式.解析(1)当n=1时,S2=S1+,即a2=2,a2a1=.当n2时,Sn=Sn-1+,an+1=Sn+1-Sn=(Sn-Sn-1)=an,即an+1an=(n2).又a2a1=,数列an是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)得an=n,a1a2an=1+2+n=n(n+1)2,bn=1nlogn(n+1)2=n+12.解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去Sn(或者an),得到数列an的递推公式(或者是数列Sn的递推公式),进而求出an(或者Sn)与n的关系式.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.解析由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,易知Sn0,等式两边同时除以Sn+1Sn,得1Sn+1-1Sn=-1,故数列1Sn是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则1Sn=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-1n.答案-1n一、选择题1.Sn是等差数列an的前n项和,若S7-S2=45,则 S9=().A.54B.63C.72D.81解析(法一)S7-S2=45,a3+a4+a5+a6+a7=45,5a5=45,a5=9,S9=9(a1+a9)2=9a5=81.(法二)S7-S2=45,7a1+21d-(2a1+d)=45,即a1+4d=9,S9=9a1+36d=9(a1+4d)=99=81,故选D.答案D2.已知数列an满足a1=2,an+1=11-an(nN*),则a2019=().A.-2B.-1C.2D.12解析数列an满足a1=2,an+1=11-an(nN*),a2=11-2=-1,a3=11-(-1)=12,a4=11-12=2,可知此数列具有周期性,周期为3,即an+3=an,则a2019=a3=12.故选D.答案D3.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于().A.56B.65C.130D.30解析当n2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),1a5=5(5+1)=30.故选D.答案D4.已知等比数列an中,a2=2,a6=8,则a3a4a5=().A.64B.64C.32D.16解析因为a2=2,a6=8,所以由等比数列的性质可知a2a6=a42=16,而a2,a4,a6同号,所以a4=4,所以a3a4a5=a43=64,故选B.答案B5.已知an是公差为4的等差数列,Sn是其前n项和.若S5=15,则a10的值是().A.11B.20C.29D.31解析因为S5=15,所以5a1+5424=15,所以a1=-5,所以a10=a1+9d=31,故选D.答案D6.观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10条直线相交,最多可形成的交点的个数是().A.40B.45C.50D.55解析(法一)n+1(nN*)条直线相交,当n=1,2,3,k,时,最多可形成的交点个数分别是1,1+2,1+2+3,1+2+3+k,.10条直线相交,最多可形成的交点的个数是1+2+9=45.(法二)设n(n2,nN*)条直线相交,最多可形成的交点个数为an,则a3-a2=2,a4-a3=3,a10-a9=9,累加得a10-a2=2+3+9,a10=1+2+3+9=45.故选B.答案B7.张丘建算经中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为().A.128127B.44800127C.700127D.17532解析由题意知这匹马每日所走的路程成等比数列,设该数列为an,则公比q=12,前7项和S7=700.由等比数列的求和公式得a11-1271-12=700,解得a1=44800127,故选B.答案B8.已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=5n+2n+3,则a2+a20b7+b15=().A.10724B.724C.14912D.1493解析(法一)设Sn=5n2+2n,则 Tn=n2+3n.当n=1时,a1=7;当n2时,an=Sn-Sn-1=10n-3.a1=7符合上式,an=10n-3.同理bn=2n+2.a2+a20b7+b15=10724.故选A.(法二)由anbn=S2n-1T2n-1,得a2+a20b7+b15=a11b11=S21T21=521+221+3=10724.故选A.答案A9.已知数列an的通项公式为an=3n+k2n,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为().A.(3,+)B.(2,+)C.(1,+)D.(0,+)解析因为an+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,所以由数列an为递减数列知,对任意nN*,an+1-an=3-3n-k2n+13-3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D.答案D二、填空题10.在等比数列an中,若a1=12,a4=-4,则|a1|+|a2|+|an|=.解析设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,代入数据得q3=-8,所以q=-2.又等比数列|an|的公比为|q|=2,所以|an|=122n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=12(1+2+22+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.答案2n-1-1211.设等差数列5,307,257,207,的前n项和为Sn,则当Sn最大时,n=.解析(法一)设该等差数列为an,公差d=307-5=-57,a1=5,an=5+(n-1)-57=-5n7+407.要使Sn最大,则an0,an+10,即-5n7+4070,-5(n+1)7+4070,解得7n8.又nN*,n=7或n=8.(法二)公差d=307-5=-57,首项为5,Sn=5n+n(n-1)2-57=-514n2+7514n=-514n-1522+112556.当n取最接近152的整数时,Sn最大,即当n=7或n=8时,Sn最大.答案7或812.在计算机语言中,有一种函数y=INT(x)叫作取整函数,它表示不超过x的最大整数,如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知27=0.285714,令an=INT2710n,b1=a1,bn=an-10an-1(n1且nN*),则b2019=.解析依题意得a1=2,a2=28,a3=285,a4=2857,a5=28571,a6=285714,a7=2857142,所以b1=a1=2.又bn=an-10an-1,所以b2=8,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,可知数列bn是周期为6的周期数列.而2019=3366+3,所以b2019=b3=5.答案5三、解答题13.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2,a1=2.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若数列bn满足4b1-14b2-14bn-1=anbn(nN*),证明:bn是等差数列.解析(1)当n2时,由Sn=an+1-2,得Sn-1=an-2,两式相减,得an+1=2an,即an+1an=2.又S1=a2-2,a1=2,a2=S1+2=4,满足a2a1=2,an+1an=2对任意的nN*都成立.an是首项为2,公比为2的等比数列.an=2n.(2)4b1-14b2-14bn-1=anbn,4b1+b2+bn-n=2nbn,2(b1+b2+bn)-n=nbn,2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1,由-得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0,nbn+2-(n+1)bn+1+2=0,由-得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,bn+2-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN*),bn是等差数列.
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