2020版高考数学一轮复习 第11章 算法复数推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明讲义 理（含解析）.doc

第4讲直接证明与间接证明考纲解读1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法(重点)2.能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：反设；归谬；结论(难点)3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.1直接证明续表2间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立1概念辨析(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法 B分析法C类比法 D反证法答案B解析用分析法证明如下：要证明2，需证()2(2)2，即证10220，即证5，即证2125，显然成立，故原结论成立用综合法证明：因为()2(2)2102202(5)0，故f.证明要证f(x1)f(x2)f，即证明(tanx1tanx2)tan，只需证明tan，只需证明.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cosx1cosx20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cosx1cosx2，即证1cosx1cosx2sinx1sinx22cosx1cosx2，即证cos(x1x2)f.条件探究举例说明中“f(x)”变为“f(x)3x2x”，试证：对于任意的x1，x2R，均有f.1分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证2分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明过程中所需要用的知识不太明确、具体含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立题型 综合法的应用(2018黄冈模拟)设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列证明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3.两式相减，得(3m)an12man，m3，an是等比数列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.b1a11，qf(m)，当nN且n2时，bnf(bn1)bnbn13bn3bn1.是首项为1，公差为的等差数列1利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型2综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明见举例说明. 设a，b，c都是正数，求证：abc.证明因为a，b，c都是正数，所以，都是正数所以2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相加，得22(abc)，即abc，当且仅当abc时等号成立题型 反证法的应用角度1证明否定性命题1(2018株州月考)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，则当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列角度2证明“至多”“至少”“唯一”命题2已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，()方程f(x)x0有实数根；()函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)判断函数f(x)是不是集合M中的元素，并说明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根解(1)当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根为0；因为f(x)cosx，所以f(x)，满足条件0f(x)1.由可得，函数f(x)是集合M中的元素(2)证明：假设方程f(x)x0存在两个实数根，()，则f()0，f()0.不妨设，根据题意存在c(，)满足f()f()()f(c)因为f()，f()，且，所以f(c)1.与已知0f(x)1矛盾又f(x)x0有实数根，所以方程f(x)x0有且只有一个实数根1反证法证明问题的三步骤2反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x32233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.2已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：由已知得SA2AD2SD2，所以SAAD.同理SAAB.又ABADA，所以SA平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.因为BCAD，BC平面SAD.所以BC平面SAD.而BCBFB，所以平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立所以不存在这样的点F，使得BF平面SAD.