FIRDF数字滤波器的设计.ppt

第七章FIRDF有限长数字滤波器的设计 7 1引言一 IIRDF的特点1 DF的设计依托AF的设计 有图表可查 方便简单 2 相位的非线性H Z 的频响 其中 是幅度函数 是相位函数 通常 与不是呈线性的 这是IIRfilter 无限长响应滤波器 的一大缺点 因此限制了它的应用 如图象处理 数据传输都要求信道具有线性相位特性 3 用全通网络进行相位校正 可以得线性特性 二 FIRDF的特点1 单位抽样响应h n 是有限长的 因此FIRDF一定是稳定的 2 经延时 h n 总可变成因果序列 所以FIRDF总可以由因果系统实现 3 h n 为有限长 可以用FFT实现FIRDF 4 FIR的系统函数是Z 1的多项式 故IIR的方法不适用 5 FIR的相位特性可以是线性的 因此 它有更广泛的应用 非线性的FIR一般不作研究 7 2线性相位FIRDF的特点一 线性相位的条件如果FIRDF的单位抽样响应h n 为实数 而且满足偶对称h n h N 1 n 或满足奇对称h n h N 1 n 其对称中心在处 可证明filter就具有准确的线性相位 N又分为偶数和奇数两种情况 所以有4种线性相位FIRDF 如下所述 1 N为奇数的偶对称例如N 11 对称中心为 2 N为偶数时的偶对称例如N 10 对称中心为 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N为奇数时的奇对称例如 N 11 对称中心为 n 5 6 7 8 9 10 4 N为偶数时的奇对称例如 N 10 对称中心为4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 线性相位的特点 为幅度函数 是一个纯实数 是相位函数 下面分为奇 偶对称两种情况讨论 1 h n 为偶对称情况 也就是 上式两边同时加H Z 再用2去除得 所以 这时的幅度函数和相位函数如下所示 幅度函数为相位函数为 显然与呈正比 是严格的线性相位 0 2 h n 为奇对称的情况当h n h N 1 n 时 可以通过类似的推导 得到 所以 其幅度函数和相位函数分别为 可见 其相位特性是线性相位 而且还产生一个900相移 这样就使得通过filter的所有频率都相移900 因此称它为正交变换网络 相移900的信号与原信号为正交的 0 1 N为奇数 h n 为偶对称的情况 三 幅度函数的特点 可见 对呈现偶对称 2 N为偶数 h n 为偶对称的情况 可见 对呈奇对称 3 N为奇数 h n 为奇对称的情况 可见 时 对呈奇对称 4 N为偶数 h n 为奇对称的情况 可见 时 对呈奇对称 而对呈偶对称 这四种线性相位FIRfilter的特性归纳在表7 1中 P341 四 系统函数H Z 的零点分布情况1 零点的分布原则 所以 如果是零点 则也一定是H Z 的零点 h n 为实数时 H Z 的零点必成共轭对出现 即也一定是H Z 的零点 也一定是H Z 的零点 2 零点的位置 1 既不在实轴上 也不在单位圆上 则零点是互为倒数的两组共轭对 2 不在实轴上 但在单位圆上 共轭对的倒数就是它们本身 如 3 在实轴上 不在单位圆上 实数零点 没复共轭 只有倒数 例如 0 1 4 既在实轴上也在单位圆上 此时 只有一个零点 且有两种可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N为偶数时的偶对称为其零点 N为偶数奇对称H 0 0 有Z 1零点 N为奇数奇对称有零点Z 1 和Z 1 7 3窗函数设计法一 设计方法1 设计思想先给定理想filter的频响 所要求设计一个FIR的filter的频响为 使逼近2 设计过程设计是在时域进行的 先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应 然后加时间窗对截断 以求得FIRfilter的单位抽样响应h n 例如 低通filter 0 是矩形的 则一定是无限长的且是非因果的 二 窗函数对频响的影响1 理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为 1 0 0 为群延时 因为其相位 所以是偶对称 其对称中心为 这是因为时 即为其最大 故为其对称中心 又是无限长的非因果序列 2 加矩形窗加窗就是实行乘操作 而矩形窗就是截断数据 这相当于通过窗口看 称为窗口函数 其他n值 因h n 是偶对称的 长度为N 所以其对称中心应为 所以h n 可写作 h n n为其他值 3 h n 的频响h n 的频响可通过傅式变换求得 为了便于与的频响相比较 利用卷积定理 1 对于矩形窗的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 2 对于理想LF的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 3 h n 的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 4 窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响 1 时 也就在到全部面积的积分 因此 H 0 H 0 1 用H 0 归一化 0 0 2 时 正好与的一半相重叠 这时有 3 时 的主瓣全部在的通带内 这时应出现正的肩峰 4 时 主瓣全部在通带外 出现负的肩峰 5 当时 随增加 左边旁瓣的起伏部分扫过通带 卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化 故将围绕着零值而波动 6 当时 的右边旁瓣将进入的通带 右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动 1 0 0 5 5 几点结论 1 加窗后 使频响产生一过渡带 其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度 2 在处出现肩峰 肩峰两侧形成起伏振荡 其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度 而振荡的多少则取决于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数 分析表明 当改变N时仅能改变的绝对值的大小 和主瓣的宽度 旁瓣的宽度 但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 也就是说 不会改变归一化频响的肩峰的相对值 对于矩形窗最大相对肩峰为8 95 不管N怎样改变 最大肩峰总是8 95 这种现象称作吉布斯效应 三 各种窗函数1 基本概念 1 窗谱 窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱 2 对窗函数要求a 希望窗谱主瓣尽量窄 以获得较陡的过渡带 这是因为过渡带等于主瓣宽度 b 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 这样可使肩峰和波纹减少 2 矩形窗时域表达式 频域表达式 频谱 幅度函数 3 三角形 Bartlett 窗时域表达式 1 01234 频谱 第一对零点为 即 所以主瓣宽度 比矩形宽一倍 4 汉宁窗 升余弦窗 其窗谱可利用如下方法求出 将变形为又由于其中又考虑到 这里 所以有 当时 窗谱分析可知 它等于三部分之和 旁瓣较大程度地互相抵消 但主瓣加宽一倍 即为 汉宁窗是时 特例 5 海明窗 又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣内 海明窗是下一类窗的特例 6 布拉克曼窗 又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量 可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为 是矩形窗的三倍 7 五种窗函数的比较 1 时域窗 布拉克曼 三角 矩形 海明 2 各个窗的幅度函数 如P 200 图6 10 注意图中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函数 响应 如P201 图6 11所示 四 窗函数法的设计1 设计步骤 1 给定频响函数 2 求出单位抽样响应 3 根据过渡带宽度和阻带最小衰减 借助窗函数基本参数表 P202表3 确定窗的形式及N的大小 4 最后求及2 设计举例 例 分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器 具体要求 其他 并画出相应的频响特性 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 确定N由于相位函数 所以呈偶对称 其对称中心为 因此 3 加矩形窗 则有 可以求出h n 的数值 注意偶对称 对称中心 由于h n 为偶对称 N 25为奇数 所以 例如H 0 0 94789 可以计算的值 画如下图 4 加汉宁窗由于可以求出序列的各点值 通过可求出加窗后的h n 相应幅度函数可用下式求得 如H 0 0 98460 图如下 7 4 凯泽 Kaiser 窗及其滤波器设计 上述几种窗函数 矩形窗 汉宁窗 海明窗等 为了压制旁瓣 是以加宽主瓣为代价的 而且 每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的 而凯泽窗 可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择 一 凯泽窗 凯泽在1966 1974 发现 利用第一类零阶修正 变形 贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗 函数 凯泽窗定义为 1 定义 其中 为第一类零阶修正贝塞尔函数 是一个可自由选择的参数 2 特点 可同时调整主瓣宽度与旁瓣 越大 窗越窄 频谱旁瓣越小 而主瓣 相应增加 相当于矩形窗 通常选择 它们相当于旁瓣与主 瓣幅度为 3 1 0 047 凯泽窗随变化的曲线如下图 注 第一类零阶修正贝塞尔函数为 由图可以看出 为对称中心 且是偶对称 即 3 凯泽经验公式 该公式可使filter设计人员根据filter的设计指标 估算出 值和N值 且 通带截止频率 由定 止带截止频率 由定 过渡带宽度 4 设计举例 利用凯泽窗设计一FIR低通filter 要求 解 取38 将N 38 5 653代入表达式 得 0370 01 0000 02040 02 1361 83362 0300 04150 04 2352 55683 3450 07040 07 8294 654819 960 40820 41 3343 0865 2510 10740 11 4333 51117 4410 15220 15 5323 865610 110 20670 21 6314 167813 100 26790 29 7304 428616 440 33620 34 17205 635048 030 98220 98 9284 851223 830 48730 49 10275 021527 730 56710 57 11265 168231 720 64890 65 12255 293135 330 72250 72 13245 398039 010 79780 80 14235 483841 930 85750 86 15225 551544 670 91350 91 16215 601746 740 95580 96 18195 651548 901 01 00 0 4 8 12 16 18 19 25 29 33 37 21 的图形如下所示 7 5 频率取样设计法 一 设计思想 窗函数设计法是从时域出发 把理想的用一定 形状的窗函数截取成有限长的 以来近似 从而使频响近似理想频响 频率取样法是从频域出发 对理想的频响 进行等间隔取样 以有限个频响采样去近似理想频响 即 等间隔取样 并且 二 利用N个频域采样值重构FIR的系统函数与频响 1 重构FIR的的单位抽样响应h n 根据频域抽样理论 p99 由N个频域采样点 可以唯一确定h n 即对H k 进行IDFT 2 重构系统函数H Z 3 FIR的频响 将代入表达式可得 其中 为大家所知的内插函数 分析可知 当时 采样点 有 这说明 重构的频响 在采样上严格等于H k 而在采样点之间 频响则由加权的内插函数延伸叠加而成 三 线性相位的约束条件 以h n 为偶对称 N为奇数的情况进行分析 1 FIR的频响具有线性相位的一般表达式 当h n 为偶对称 N为奇数时 则 P191 表6 1 而且幅度函数应为偶对称 即 2 采样值H k 具有线性相位的约束 其中 表示采样值的模 纯标量 表示 其相角 因此 在采样点上具有线性相位的条件应为 而且 必须满足偶对称 即 四 设计步骤 1 根据指标要求 画出频率采样序列的图形 2 依据的对称特点 可以使问题得以简化 3 根据线性相位的约束条件 求出 4 将代入FIR的频响表达式 5 由的表达式画出实际频响 四 设计举例 例 试用频率采样法 设计一个具有线性相位 的低通FIR数字filter 其理想频率特性为 已知 采样点N 33 由于h n 为偶对称 且N 33为奇数 所以对于 是偶对称 所以上图可画一半 到 截止频率 即 解 相位约束条件 而为 将代入FIR的频响 得 考虑到时 所以将负频部分加进去 有 的图形如下所示 0 放映结束