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第二章 数列章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题1.等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推公式an1andq中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时A叫做a与b的等差中项，并且A如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn1前n项和公式Snna1d当q1时，Sn，当q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN*，mnstamanasatamanasatkn是等差数列，且knN*是等差数列是等比数列n2k1，kN*S2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p，q为常数anabn(a0，b0)利用前n项和公式Snan2bn (a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)2数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想1等差数列、等比数列的很多性质是相似的()2一般数列问题通常要转化为等差数列、等比数列来解决()类型一方程思想求解数列问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnlna3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnlna3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln23n3nln2.又bn1bn3ln2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln2.故Tnln2.反思与感悟在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量跟踪训练1记等差数列的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合解设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN*.类型二转化与化归思想求解数列问题例2在数列an中，Sn为数列an的前n项和，Sn14an2，a11.(1) 设cn，求证：数列cn是等差数列；(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式考点等差等比数列综合应用题点等差等比数列其他综合问题(1)证明Sn14an2，当n2，nN*时，Sn4an12.得an14an4an1.方法一对an14an4an1两边同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，数列cn是等差数列由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以为首项，为公差的等差数列方法二an12an2an4an12(an2an1)，令bnan12an，则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列，bn32n1，cn，cn1cn，c1，cn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，an(3n1)2n2是数列an的通项公式设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2，则2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1，Sn2SnSn(31)213(20212n2)(3n1)2n113(3n1)2n113(3n4)2n12(3n4)2n1.数列an的通项公式为an(3n1)2n2，前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，nN*.反思与感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出跟踪训练2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列考点等差等比数列综合应用题点等差等比数列其他综合问题(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列类型三函数思想求解数列问题命题角度1借助函数性质解数列问题例3已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)，Snb1b2bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由考点数列综合问题题点数列与函数的综合解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，d0，d2.an2n1(nN*)(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是递增数列S1为Sn的最小值，故，即t9.又tZ，适合条件的t的最大值为8.反思与感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响跟踪训练3已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn最大项的值与最小项的值考点数列综合问题题点数列与函数的综合解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列，且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1.故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.综上，对于nN*，总有Sn且Sn0.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.命题角度2以函数为载体给出数列例4已知函数f(x)2|x|，无穷数列an满足an1f(an)，nN*.(1)若a10，求a2，a3，a4；(2)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值考点数列综合问题题点数列与函数的综合解(1)由an1f(an)，得an12|an|，a10，a22，a30，a42.(2)a1，a2，a3成等比数列，a32|a2|，aa1(2|a2|)，且a22|a1|，(2|a1|)2a1(2|2|a1|)，即(2a1)2a1(2|2a1|)下面分情况讨论：当2a10时，(2a1)2a12(2a1)a，解得a11，且a12；当2a10时，(2a1)2a12(a12)a1(4a1)，即2a8a140，即a4a142，即(a12)22，解得a12，且a12，综上，a11或a12.反思与感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题跟踪训练4已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.考点数列综合问题题点数列与函数的综合解(1)an1fan，an1an，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n).1设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和(nN*)，且S9S2，S44S2，则数列an的通项公式是_考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案an36(2n1)解析设等差数列an的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得a9(2a1d)，4a16d4(2a1d )由得d2a1，代入有a36a1，解得a10或a136.又d0，所以a10不符合题意，舍去因此a136，d72，故数列an的通项公式为an36(n1)7272n3636(2n1)2若数列an的前n项和Snn2n(n1,2,3，)，则此数列的通项公式为_；数列nan中数值最小的项是第_项考点数列综合问题题点数列与函数的综合答案an3n163解析利用an求得an3n16.则nan3n216n3，所以n3时，nan的值最小3已知函数yf(x)的定义域为R，当x1，且对任意的实数x，yR，等式f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列an满足a1f(0)，且f(an1)(nN*)，则a2018的值为_考点数列综合问题题点数列与函数的综合答案4035解析根据题意，不妨设f(x)x，则a1f(0)1，f(an1)，an1an2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，a2 0184 035.1等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和一、填空题1若一个等差数列an的公差为d，第5项等于10，前3项的和等于3，那么a1_，d_.考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案23解析由题意得即解得a12，d3.2在等比数列an中，已知前4项和为1，前8项之和为17，则此等比数列的公比q为_考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案2解析由题意可知q1，S41，S817，得1q417，q416.q2.3等比数列an的前n项和Sn3nt，则ta3_.考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案17解析a1S13t，由a1a29t得a26，由a1a2a327t得a318，由a1a3a，得t1，故ta317.4数列an的前n项和为Snn23n1，nN*，则它的通项公式为_答案an考点数列综合问题题点数列其他综合问题解析当n1时，a1S15；当n2时，anSnSn12n2(a15不符合)故数列an的通项公式为an5已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1_.考点等差等比数列综合应用题点等差等比数列其他综合问题答案(14n)解析依题意a2a1q2，a5a1q4，两式相除可求得q，a14，又因为数列an是等比数列，所以anan1是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，根据等比数列前n项和公式可得原式(14n)6已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*.若a316，S2020，则S10的值为_考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案110解析设an的首项，公差分别是a1，d，则解得a120，d2，S101020(2)110.7已知等差数列前n项和为Sn，且S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为第_项考点数列综合问题题点数列与不等式的综合答案7解析由S1313a7，S126(a6a7)及S130，S120，知a70，a6a70，即a6a70，故|a6|a7|.又等差数列为递减数列，故|a1|a2|a6|a7|，|a7|a8|0，f(n)(nN*，n2)为递增数列，f(n)minf(2).二、解答题11在等比数列an中，an0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值考点数列综合问题题点数列与不等式的综合解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，最大12求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和考点数列前n项和的求法题点错位相减法求和解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn13已知数列an中，a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)求通项公式an.考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，可得2b2b1b3.2，即，解得1.又bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列(3)由(2)知，数列为首项是2，公差是1的等差数列，2(n1)1n1，an(n1)2n1.三、探究与拓展14已知Sn和Tn分别为数列an与数列bn的前n项和，且a1e4，SneSn1e5，an，则当Tn取得最大值时n的值为_考点数列综合问题题点数列与不等式的综合答案4或5解析由SneSn1e5，得Sn1eSne5(n2)，两式相减，得anean1(n2)，易知a2e3，所以数列an是首项为e4，公比为的等比数列，所以ane5n.因为anebn，所以bn5n.由即解得4n5，所以当n4或n5时，Tn取得最大值15在等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.考点数列综合问题题点数列其他综合问题解(1)设数列an的公差为d，由题意有解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.
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