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3.1.2复数的几何意义学习目标1.了解复数z、复平面内的点Z、向量之间的一一对应关系.2.理解并掌握复数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力知识点一复平面的定义思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系思考2判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答案正确，错误因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以错因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以错梳理如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义思考平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案向量的起点是原点梳理复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的知识点三复数的模思考(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z满足|z|1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？答案(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|0.当z0时，|z|0；反之，当|z|0时，必有z0.(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆梳理复数zabi(a，bR)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR)1在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()2若|z1|z2|，则z1z2.()类型一复平面的相关概念例1(1)对于复平面，下列说法错误的是()A实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上B虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上C第一象限的点都表示实部为正数的虚数D实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系(2)下列命题为假命题的是()A复数的模是非负实数B复数等于零的充要条件是它的模等于零C两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D复数z1z2的充要条件是|z1|z2|考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模(3)向量(0，3)对应的复数是_考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系(4)已知复数z2i(i是虚数单位)，则|z|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案(1)B(2)D(3)3i(4)解析(1)原点是虚轴上的点，但它表示实数(2)D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错(3)易知向量对应的复数为3i.(4)|z|.反思与感悟确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解跟踪训练1已知复数zm2(4m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为()A0B2C2D2考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析当点在虚轴上时，实部m20，m2.类型二复数的几何意义例2实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限解(1)当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值跟踪训练2(1)当0m1时，z(m1)(m1)i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析z(m1)(m1)i对应的点为(m1，m1)，0m1，1m12，1m10，点(m1，m1)位于第四象限(2)已知O为坐标原点，对应的复数为34i，对应的复数为2ai(aR)若与共线，求a的值考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系解因为对应的复数为34i，对应的复数为2ai，所以(3,4)，(2a,1)因为与共线，所以存在实数k，使得k，即(2a,1)(3k,4k)，所以所以故a的值为.类型三复数的模命题角度1复数模的基本运算例3(1)如果复数z1ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是()A(2，2) B(2,2)C(1,1) D(，)考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数(2)若复数zsinicos，则|z|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案(1)D(2)解析(1)因为|z|2，所以2，则1a24，所以a23，解得a，故选D.(2)因为zi，所以|z|.反思与感悟复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解跟踪训练3设复数z1，z2满足|z1|z2|1，且z1z2i，求z1与z2.考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数解设z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(ac)(bd)ii，ac，且bd，ac，bd，z1i，z2cdi.|z1|z2|1，1，解得或z1i，z21或z11，z2i.命题角度2复数模的几何意义例4已知zcosisin，i为虚数单位，那么在平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是()A圆面B以点C为圆心，半径等于1的圆C满足方程x2y21的曲线D满足方程(x1)2(y2)2的曲线考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案B解析由zcosisin，得|z|1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x1)2(y2)21，该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆反思与感悟对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练4已知复数zabi(a，bR)，复数z的虚部为，且|z|2，若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z_.考点复数的模的定义与应用题点利用复数的模的定义求复数答案1i解析由已知得又复数z对应的点在第二象限，a1，则z1i.1复数z与它的模相等的充要条件是()Az为纯虚数Bz是实数Cz是正实数Dz是非负实数考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案D解析由z|z|，故zR且z0.2已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是()Ae1对应实数1，e2对应虚数iBe1对应虚数i，e2对应虚数iCe1对应实数1，e2对应虚数iDe1对应实数1或1，e2对应虚数i或i考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案A解析e1(1,0)，e2(0,1)3若复数(m23m4)(m25m6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案1或4解析由题意知m23m40，解得m1或m4.4若复数z3a6i的模为，则实数a的值为_考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案解析由|z|，解得a.5已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，由图可知a.1复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离一、选择题1若(0，3)，则对应的复数()A等于0B等于3C在虚轴上D既不在实轴上，也不在虚轴上考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案C解析对应的复数为3i.2复数z12017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析复数z12017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点为(1,2017)，位于第二象限3已知复数z(a22a)(a2a2)i(aR)对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1Ba2或a1Ca2或a0Da0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析由题意知a22a0，解得a0或a2.4已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为()A1或3B1C3D2考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案A解析由题意知|z|2，解得m1或3.5复数z11i，z21i在复平面内对应的点关于()A实轴对称B虚轴对称C一、三象限的平分线对称D二、四象限的平分线对称考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案A解析由两复数实部相等，虚部互为相反数，得复数z11i，z21i在复平面内对应的点关于实轴对称6已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A(1,5) B(1,3)C(1，) D(1，)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案C解析由已知得|z|.由0a2，得0a24，1a21，AB，且A，sinAsin，即sinAcosB，cosBsinAcosA，sinBcosA0，z在复平面内所对应的点位于第二象限二、填空题8设zabi(a，bR)和复平面内的点Z(a，b)对应，当b_时，点Z位于实轴上考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案0解析当b0时，复数zabia为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上9若复数35i,1i和2ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案5解析由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知a5.10设复数z的模为17，虚部为8，则复数z_.考点复数的模的定义与应用题点由复数模的定义求复数答案158i或158i解析设复数za8i(aR)，17，a2225，a15，z158i或158i.11复数z512i在复平面内对应的点到原点的距离为_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案13解析复数z512i在复平面内对应的点为(5，12)，所以所求距离d13.三、解答题12.在复平面内，A，B，C，D，E，F六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)指出各点表示的复数，并对这些复数进行归类考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解由图中所给点的位置可得A点对应的复数为1i，B点对应的复数为3i，C点对应的复数为22i，D点对应的复数为22i，E点对应的复数为2i，F点对应的复数为2.对复数进行分类可得，虚数有A点对应的复数1i，B点对应的复数3i，C点对应的复数22i，D点对应的复数22i，E点对应的复数2i.其中，纯虚数有B点对应的复数3i和E点对应的复数2i.实数有F点对应的复数2.13设全集UC，Az|z|1|1|z|，zC，Bz|z|1，zC，若zA(UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形问题解因为zC，所以|z|R，所以1|z|R，由|z|1|1|z|得1|z|0，即|z|1，所以Az|z|1，zC又Bz|z|1，zC，所以UBz|z|1，zC因为zA(UB)等价于zA且zUB，所以解得|z|1.由模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆四、探究与拓展14已知z1，z2是复数，以下结论正确的是()若z1z20，则z10，且z20；若|z1|z2|0，则z10，且z20；若|z1|z2|，则向量和重合A仅正确B仅正确C仅正确D仅正确考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案A解析z1z20只能说明z1z2.|z1|z2|0，说明|z1|z2|0，即z1z20.|z1|z2|，说明|，但与方向不一定相同所以仅正确故选A.15设zabi(a，bR)，求在复平面内满足下列条件的点的集合所组成的图形(1)|a|2，且|b|1；(3)|z|2，且ab.考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形问题解(1)在复平面内，满足不等式|a|2的点组成的图形是位于两条平行直线x2之间的部分(不包括两条直线)，满足不等式|b|1的点的集合所组成的图形是直线y1以上及直线y1以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以2为半径的圆被直线y1所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图所示(3)方程|z|2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆周，满足条件ab的点组成的图形是位于直线yx下方的半平面，其中不包括直线yx上的点，两者的公共部分即为所求，如图所示
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