2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练.doc

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 若为第二象限角，则的值是_答案：0解析：因为为第二象限角，所以sin 0，1，tan 0，1，所以0.2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _答案：解析：因为点A的纵坐标yA，且点A在第二象限又圆O为单位圆，所以点A的横坐标xA.由三角函数的定义可得cos .3. 已知角的终边经过点P(2，1)，则_答案：3解析：由题意得sin ，cos ，所以3.4. (2017泰州模拟)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _答案：解析：因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos ，所以x，解得x3，所以tan .5. 函数y的定义域为_答案：(kZ)解析： 2sin x10， sin x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) x(kZ)6. 若420角的终边所在直线上有一点(4，a)，则a的值为_答案：4解析：由三角函数的定义有tan 420.又tan 420tan (36060)tan 60，故，解得a4.7. 点P从(1，0)出发，沿单位圆x2y21按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为_答案：解析：由弧长公式l|r，l，r1得点P按逆时针方向转过的角度为，所以点Q的坐标为，即.8. 已知角的终边在直线yx上，则2sin cos _答案：或解析：由题意知tan ， 在第二象限或第四象限，故sin ，cos 或sin ，cos ， 2sin cos 或.9. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是_答案：解析：如图，AOB2弧度，过点O作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则AODBOD1弧度，且ACBC1.在RtAOC中，AO.即r，从而弧AB的长为l|r.10. 已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为_答案：解析： sin ，cos ， 角x的终边经过点，所以角x是第四象限角，tan x， x2k，kZ， 角x的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x得出)11. 设是第三象限角，且cos，则sin的值的符号是_答案：解析：由于是第三象限角，所以2k2k(kZ)，kk(kZ)又cos ，所以cos 0，从而2k2k(kZ)综上可知：2k0.二、 解答题12. 如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长解：设点P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt2.所以t4(秒)，即点P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒设点P，Q第一次相遇点为C，第一次相遇时点P和点Q已运动到终边在4的位置，则xCcos 42，yCsin 42.所以点C的坐标为(2，2)点P走过的弧长为44，点Q走过的弧长为44.13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动. (1) 若点B的横坐标为，求tan 的值；(2) 若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3) 若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式解：(1) 由题意可得B，根据三角函数的定义得tan .(2) 若AOB为等边三角形，则AOB.故与角终边相同的角的集合为2k，kZ(3) 若，则S扇形AOBr2，.而SAOB11sin sin ，故弓形AB的面积SS扇形AOBSAOBsin ，.第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、 填空题1. sin 750_答案：解析：sin 750sin (236030)sin 30.2. 若，sin ，则cos()的值为_答案：解析：因为，sin ，所以cos ，即cos ().3. (2017镇江期末)已知是第四象限角，sin ，则tan _答案：解析：因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .4. 已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin 的值是_答案：解析：由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3.又为锐角，故sin .5. (2017射阳县中模拟)若f(tan x)sin2x5sin xcos x, 则f(5)_答案：0解析：由已知得f( tan x)，所以f(5)0.6. 已知是第三象限角，且sin 2cos ，则sin cos _答案：解析：由sin 2cos ，sin2cos21，是第三象限角，得sin ，cos ，则sin cos .7. 已知sin()log8，且，则tan(2)的值为_答案：解析：sin ()sin log8.又，得cos ，tan (2)tan ()tan .8. 已知sin 2cos ，则sin2sin cos 2cos2_答案：解析：由 sin 2cos ，得 tan 2. sin2sin cos 2cos2.9. 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当0x时，f(x)0，则f_答案：解析：由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以fffffsin.因为当0x时，f(x)0，所以f0.10. 已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为_答案：3解析： f(4)asin (4)bcos (4)asin bcos 3， f(2 017)asin (2 017)bcos (2 017)asin ()bcos ()asin bcos (asin bcos )3.二、 解答题11. 已知，求的值 解：由同角三角函数关系式1sin2cos2及题意可得cos 0，且1sin 0，可得(1sin )(1sin )cos cos ，所以，所以，即.12. 已知f(x)(nZ)(1) 化简f(x)的解析式；(2) 求ff的值 解：(1) 当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x.综上，f(x)sin2x.(2) 由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.13. 是否存在角和，当，(0，)时，等式同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由解：存在，使等式同时成立由得两式平方相加，得sin23cos22，得到cos2，即cos .因为，所以cos ，所以或.将代入cos cos ，得cos .由于(0，)，所以.将代入sin sin ，得sin .由于(0，)，这样的角不存在综上可知，存在，使等式同时成立第3课时三角函数的图象和性质一、 填空题1. (必修4P33例4改编)函数ytan2的定义域为_答案：解析：由xk，kZ，得xk，kZ.2. (2017珠海调研改编)要得到函数ysin的图象，只需要将函数ysin 2x的图象作平移变换：_.答案：向左平移个单位解析：ysinsin 2，所以要得到函数y sin 的图象，只需要将函数ysin 2x的图象向左平移个单位3. (2017南京、盐城一模)将函数y3sin的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则_答案：解析：由题意得y3sin为偶函数，所以2k(kZ)又00，0，(0，2)图象的一部分，则f(0)的值为_答案：解析：由函数图象得A3，23(1)8，解得，所以f(x)3sin.因为(3，0)为函数f(x)3sin的一个下降零点，所以3(2k1)(kZ)，解得2k(kZ)因为(0，2)，所以，所以f(x)3sin，则f(0)3sin.8. 若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则的值为_答案：解析：由0x，得0x，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ，且0，所以，解得.9. 函数f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意的xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x2x1|的最小值为_答案：解析：依题意得，当sin xcos x时，f(x)2sin x；当sin x0)在区间上单调递增，则的取值范围是_答案：解析：由2kx2k，kZ，得x，kZ.取k0，得x.因为函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，所以，即.又0，所以的取值范围是.11. (原创)已知函数f(x)cos2xsin x，那么下列命题中是真命题的是_(填序号) f(x)既不是奇函数也不是偶函数； f(x)是周期函数； f(x)在，0上恰有一个零点； f(x)在上是增函数； f(x)的值域为0，2答案：解析： f1，f1，即f(x)f(x)， f(x)不是偶函数 xR，f(0)10， f(x)不是奇函数，故为真命题 f(x)f(x2)， T2，故函数f(x)为周期函数，故为真命题令f(x)cos2xsin x1sin2xsin x0，则sin2xsin x10，解得sin x，当x，0时，sin x，由正弦函数图象可知函数f(x)在，0上有两个零点，故为假命题 f(x)2cos x(sin x)cos xcos x(12sin x)，当x时，cos x0，sin x0， f(x)在上是增函数，故为真命题f(x)cos2xsin xsin2xsin x1，由1sin x1得f(x)的值域为，故为假命题二、 解答题12. 已知函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，0)的周期为，且图象上有一个最低点为M.(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)成立的x的取值集合解：(1) 由题意知，A3，2，由3sin3，得2k，kZ，即2k，kZ.而0，所以k1，.故f(x)3sin.(2) f(x)等价于3sin，即sin，于是2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故使f(x)成立的x的取值集合为x|kxk，kZ13. (2017扬州中学质检)如图，函数y2cos(x)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是.(1) 求，的值；(2) 已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0，x0时，求x0的值解：(1) 将点(0，)代入y2cos(x)，得cos . 0， . 最小正周期T，且0， 2.(2) 由(1)知y2cos. A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0， P. 点P在y2cos的图象上， 2cos， cos. x0， 4x0， 4x02或4x02， x0或.第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. cos 15的值是_答案：解析：cos15cos(6045).2. 计算：cos 42cos 18cos 48sin 18_答案：解析：原式sin 48cos 18cos 48sin 18sin (4818)sin 30.3. 设，为钝角，且sin ，cos ，则cos()的值为_答案：解析： ，为钝角，sin ，cos ， cos ，sin ， cos()cos cos sin sin .4. (2017苏锡常镇四市调研(二)已知是第二象限角，且sin ，tan()2，则tan _答案：解析：由是第二象限角，且sin ，得cos ，tan 3，所以tan tan().5. 已知，若sin，cos，则sin()_答案：解析：由题意可得，所以cos，sin()，所以sin()sin()().6. 已知sinsin ，则sin_.答案：解析：sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos ，故sin sin cos cos sin (sin cos ).7. 若锐角，满足tan tan tan tan ，则_答案：解析：由已知可得，即tan ().又(0，)，所以.8. 计算：_答案：1解析：原式1.9. 若，都是锐角，且cos ，sin()，则 _答案：解析： ，都是锐角，且cos ，sin()， sin ，cos()，从而cos cos ()cos cos()sin sin(). 是锐角， .10. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC，ED，则sinCED_答案：解析：因为四边形ABCD是正方形，且AEAD1，所以AED.在RtEBC中，EB2，BC1，所以sin BEC，cos BEC.sin CEDsincos BECsin BEC.二、 解答题11. 在ABC中，已知sin(AB)2sin(AB)(1) 若B，求A；(2) 若tan A2，求tan B的值解：(1) 由条件，得sin2sin(A)， sin Acos A2.化简，得sin Acos A， tan A.又A(0，)， A.(2) sin(AB)2sin(AB)， sin Acos Bcos Asin B2(sin Acos Bcos Asin B)化简，得3cos Asin Bsin Acos B.又cos Acos B0， tan A3tan B.又tan A2， tan B.12. 已知，且sin cos .(1) 求cos 的值；(2) 若sin()，求cos 的值解：(1) 已知sincos，两边同时平方，得12sincos，则sin .又，所以cos .(2) 因为，所以.又sin()，所以cos().则cos cos ()cos cos()sin sin().13. 已知函数f(x)sin xcos tan cos xsin 的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1) 求和的值；(2) 若f，求cos的值解：(1) 由已知得f(x)sin (x)，因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ.由得k0，所以.(2) 由(1)得f(x)sin ，所以fsin ，即sin .由得0，所以cos .因此cos sin sin sin cos cos sin .第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. sin2的值为_答案：解析：sin2cos.2. 函数y(sin xcos x)2的最小正周期为_答案：解析：y(sin xcos x)212sin xcos x1sin 2x，最小正周期T.3. 若，则sin cos _答案：解析：由已知得，整理得sin cos .4. 已知sin(45)，且090，则cos 2的值为_答案：解析：由sin (45)，展开得sin cos .又sin2cos21，得sin ，cos ，则cos 2cos2sin2.5. 若函数f(x)sin2cos21，则函数f(x)的单调增区间是_ 答案：(kZ)解析：f(x)sin2(x)sin2(x)12sin2(x)1cossin 2x.易得函数f(x)的单调增区间是(kZ)6. (2017苏州调研)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2_答案：解析：因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2().7. 已知sin 2，则cos2_答案：解析：cos2.8. 若2 017，则tan 2_答案：2 017解析：tan 22 017.9. 设f(x)sin xa2sin的最大值为3，则常数a_答案：解析：f(x)sin xa2sincos xsin xa2sinsina2sin(a2)sin(x)依题意有a23， a.10. 已知，且sin，则tan 2_答案：解析：由sin，得sin cos ， ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ， sin ，cos ， tan ，tan 2.11. 已知函数f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0)，将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g，则_答案：解析： f(x)sin 2xsin cos2xcos sinsin 2xsin cos cos sin 2xsin cos 2xcos cos(2x)， g(x)coscos. g， 22k(kZ)，即2k(kZ) 0， .二、 解答题12. (2017江阴期初)已知函数f(x)sinsin2cos2x1，xR.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1) f(x)sin2xcoscos2xsinsin2xcoscos2xsincos2xsin2xcos2xsin， 函数f(x)的最小正周期T.(2) 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f1，f，f1， 函数f(x)在上的最大值为，最小值为1.13. 已知函数f(x)(2cos 2x1)sin 2xcos 4x.(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若(0，)，且f，求tan的值解：(1) f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin， f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ. f(x)的单调递减区间为，kZ.(2) f，即sin1，又(0，)，故.因此tan2.第6课时简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知cos4sin4，则cos 4_答案：解析： cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2， cos 42cos22121.2. 若sin，则cos 2_答案：解析：cos12sin212，cos22cos2121.3. 在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是_答案：等腰三角形解析：在ABC中，C(AB)， 2cos Bsin Asin(AB)sin(AB)sin A cos Bcos Asin B sin Acos Bcos Asin B0，即sin(BA)0. AB，故ABC的形状一定是等腰三角形4. 在ABC中，tan Atan Btan Atan B，则C_答案：解析：由已知可得tan Atan B(tan Atan B1)， tan(AB).又0AB， AB， C.5. 若2cos 2sin，且，则sin 2_ 答案：解析：由2cos 2sin，得2(cos2sin2)(cos sin )，所以cos sin .又(cos sin )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.6. 若0，2)，则满足sin cos 的的取值范围是_ 答案：解析：由sin cos ，得sin cos sin0.因为0，2)，所以的取值范围为.7. _答案：解析：原式.8. 已知sin 2，且，则sin _答案：解析： ， cos 0，sin 0，且|cos |sin |.又(sin cos )21sin 21， sin cos ，同理可得sin cos ， sin .9. sin 18cos 36_答案：解析：原式.10. 已知sin cos ，且，则的值为_答案：解析：由sin cos ，得sin cos ， (sin cos )2， 2sin cos ， (sin cos )212sin cos .又， sin cos ， (sin cos ).二、 解答题11. 已知ABC是锐角三角形，且sincos.(1) 求角B的值；(2) 若tan Atan C3，求角A，C的值解：(1) sincossin2Bcos2Bsin2B，所以sin2B.因为B为锐角三角形的内角，所以sin B，即B.(2) 因为B，所以AC.又ABC是锐角三角形，所以tan A0，tan C0.而tan(AC)，所以tan Atan Ctan Atan C2.又tan Atan C3，由解得tan Atan C，所以AC.12. (2017南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin，.(1) 求cos 的值；(2) 求sin的值解：(1) (解法1)因为，所以.又sin，所以cos.所以cos coscoscos sinsin .(解法2)由sin得，sin cos cos sin ，即sin cos .又sin2cos21.由解得cos 或cos .因为，所以cos .(2) 因为，cos ，所以sin .所以sin 22sin cos 2，cos 22cos2121.所以sinsin 2cos cos 2sin .13. (2017泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1) 求S关于的函数关系式；(2) 求S的最大值及相应的值解：(1) 分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，所以SMNPDsin sin cos sin2，.(2) 由(1)得Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，所以sin.当时，Smax(m2)第7课时正弦定理和余弦定理一、 填空题1. (2017江阴期初)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_答案：2解析：由已知及正弦定理得，即AC2.2. 在ABC中，AC，A45，C75，则BC_答案：解析：由题意得B180AC60.由正弦定理得，则BC，所以BC.3. 在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为_答案：解析：SABACsin 602AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.4. 已知在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_答案：解析： a2b2c2bc， cos A. A.又bc4， ABC的面积为bcsin A.5. (2017苏锡常镇调研(二)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若满足2bcos A2ca，则角B的大小为_答案：解析：由正弦定理得2sin Bcos A2sin Csin A2sin Bcos A2sin(AB)sin A2sin Acos Bsin A A(0，)， cos B. B(0，)， B.6. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A_答案：解析：由余弦定理知a2b2c22bccos A，因为bc，a22b2(1sin A)，所以b2b22b2cos A2b2(1sin A)，所以cos Asin A，即tan A1.因为A(0，)，所以A.7. (2017盐城诊断)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C所对边的长)，则ABC的形状为_答案：直角三角形解析：因为cos2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形8. 在ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若SABC2，ab6，2cos C，则c_答案：2解析： 2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C.由于0C，sin C0， cos C， C. SABC2absin Cab， ab8.又ab6，或 c2a2b22abcos C416812， c2.9. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是_答案：解析：由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，即sin Ccos C， tan C， C，AB， sin Asin Bsinsin Bsin. 0B， B， 当B，即B时，sin Asin B的最大值为.10. 在锐角三角形ABC中，若A2B，则的取值范围是_答案：(，)解析：因为ABC为锐角三角形，且A2B，所以所以B.因为A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B，所以2cos B(，)二、 解答题11. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC边上中线AM的长为.(1) 求角A和角B的大小；(2) 求ABC的面积解：(1) cos A， A.由2bsin Aa，得ba， BA.(2) 设ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x()2，解得x2，故SABC222.12. (2017江西联考)已知ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且1.(1) 求角C；(2) 若c，ABC的周长为5，求ABC的面积S. 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C， 2sin Ccos Csin C，故cos C， C.(2) abc5且c， ab5.由余弦定理，得a2b22abcos Cc2， (ab)22ab2abcos C7， 523ab7， ab6，SABCabsin C.13. (2017苏州期中)已知函数f(x)2sincos x(1) 若0x ，求函数f(x)的值域；(2) 设ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若A为锐角，且f(A)，b2，c3，求cos(AB)的值 解：(1)f(x)2sincos x(sin xcos x)cos xsinx cos xcos2xsin 2xcos 2x sin.由0x，得2x， sin1， 0sin1， 函数f(x)的值域为.(2)由f(A)sin，得sin0，又0A， 2A， 2A，解得A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A7，解得a.由正弦定理，得sin B. ba， BA， cos B ， cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.第8课时解三角形应用举例一、 填空题1. 在相距2 km的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_km.答案：解析：由题意知ACB45，由正弦定理得， AC.2. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m后，又从点B测得斜度为，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的坡角为，则cos _答案：1解析：在ABC中，AB 100 m , CAB 15， 4515 30.由正弦定理， BC 200sin 15.在DBC中，CD50 m，CBD45，CDB90，由正弦定理得， cos 1.3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_答案：45解析：依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD.又0CAD180，所以CAD45，即从顶端A看建筑物CD的张角为45.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为_m.答案：50解析：如图，连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，解得OC50 m.5. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.答案：32解析：设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得， v32 n mile/h.6. 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向航行，以9 n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，则舰艇靠近渔船所需的时间为_h.答案：解析：如图，设舰艇在B处靠近渔船，所需的时间为t h，则AB21t，CB9t.在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得212t210281t22109t.整理得360t290t1000，解得t或t(舍去)故舰艇靠近渔船所需的时间为 h.7. 如图，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶若甲船速度是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应向北偏东_(填角度)的方向前进答案：30解析：设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且.由正弦定理，得sinBAC.又0BAC60，所以BAC30.所以甲船应向北偏东30的方向前进才能尽快追上乙船8. 如图，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan _答案：解析：由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .9. 如图，某大学的大门蔚为壮观，有个学生想弄清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC9 m，利用测角仪测得仰角ACB45，测得仰角BCD后通过计算得到sinACD，则AD的距离为_m. 答案：3解析：设ADx，则BD9x，CD.在ACD中，应用正弦定理得，即，2x23x270，解得x13 m，x24.5 m(舍去)10. 如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔AB的高度为_m.答案：40解析：设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，所以BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40(x20舍去)，所以电视塔的高度为40 m.二、 解答题11. 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE.在RtAEG中，EGAEsin ， EFEGbb，答：气球的高度是b.12. (2017扬州期末)如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M，N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方经测量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN.记EPM(弧度)，监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米(1) 求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；(2) 求S的最小值解：(1)(解法1)在PME中，EPM，PEAEAP4米，PEM，PME，由正弦定理得，所以PM，同理在PNE中，由正弦定理得，所以PN，所以PMN的面积SPMPNsinMPN，当M与E重合时，0；当N与D重合时，tanAPD3，即APD，所以0.综上可得S，.(解法2)在PME中，EPM，PEAEAP4米，PEM，PME，由正弦定理可知，所以ME，在PNE中，由正弦定理可知，所以NE，所以MNNEME，又点P到DE的距离为d4sin 2，所以PMN的面积SMNd，当M与E重合时，0；当N与D重合时，tanAPD3，即APD，所以0.综上可得S，.(2) 当2即时，S取得最小值为8(1)所以可视区域PMN面积的最小值为8(1)平方米13. 如图，在海岛A上有一座海拔1 km 的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60，俯角为60的C处(1) 求船的航行速度；(2) 又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，则此时船距岛A有多远？解：(1) 在RtPAB中，APB60，PA1，所以AB.在RtPAC中，APC30，所以AC.在ACB中，CAB306090，所以BC，则船的航行速度为2(km/h)(2) 在ACD中，DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACB.sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30.由正弦定理，得，所以AD.故此时船距海岛A km.第9课时三角函数的综合应用一、 填空题1. 若函数ycos2x(0)的最小正周期是，则的值为_答案：1解析：ycos2x(1cos 2x)，最小正周期是， 1.2. 如图，若输入的x值为，则相应输出的值为_答案：解析：由于sincos，则ycos，所以输出的值为.3. 已知为第三象限角，且sin cos 2m，sin 2m2，则m的值为_答案：解析：把sin cos 2m两边平方可得1sin 24m2.又sin 2m2， 3m21，解得m.又为第三象限角， m.4. 若函数f(x)asinsin是偶函数，则实数a的值为_答案：解析：因为fa，f，又函数f(x)是偶函数，则ff，故a.5. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a，b1，且2acos Abcos C