2019届高三数学上学期开学考试试题.doc

2019届高三数学上学期开学考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1复数为虚数单位）的共轭复数为 2.已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_解析 依题意知，p，q均为假命题当p是假命题时，mx210恒成立，则有m0；当q是假命题时，则有m240，m2或m2.因此由p，q均为假命题得即m2.3或是的 条件必要不充分开始输入xx0ylog2x输出y结束y2xNY（第5题图）4.某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为1:2:2，则乙生产线生产了 件产品xx5阅读右面的流程图.若输入x的值为8，则输出y的值为 36先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为，设向量，则满足的概率为 7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22px(p0)的焦点为F，双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是_解析不妨设点A是渐近线yx与抛物线的交点，则A在抛物线上，所以22p，化简得2，故双曲线的渐近线方程是yx2x.8.若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为_9解析f(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，则ab6，又a0，b0，则tab29，当且仅当ab3时取等号9.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有_种(用数字作答)解析 若只有甲乙其中一人参加，有CCA480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA240种方法，则共有480240720种方法10.的展开式中的常数项为_2解：的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）rx105r，令105r=0，求得 r=2，可得展开式中的常数项为51=2.11.从装有编号为1，2，3，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，不取1号球有C10Cnm种取法；必取1号球有C11Cnm1种取法所以C10Cnm+C11Cnm1=Cn+1m，即Cnm+Cnm1=Cn+1m成立试根据上述思想，则有当1kmn，k，m，nN时，Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk= 解：在Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故从装有n+k球中取出m个球的不同取法数12.已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(3,8)解析设2x3ya(xy)b(xy)，则由待定系数法可得解得所以z(xy)(xy)又所以两式相加可得z(3,8)13.已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.14.已知函数f（x）=xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a=_解：f（x）=xlnx+ax，f（x）=lnx+a1函数f（x）=xlnx+ax在（0，e）上是增函数f（x）=lnx+a10在（0，e）恒成立y=lnx是（0，e）上的减函数f（x）=lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即1+a10a2x0，ln3，ex1，3ex=a时，函数取得最小值为x=0时，；x=ln3时，3a2时，函数g（x）的最大值M=函数g（x）的最大值M与最小值m的差为3a2时，a=a3时，x0ln3，此时x在0，ln3内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a=不符合a大于3，所以舍去二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（14分）某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布和数学期望解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以，随机变量X的概率分布为X012P所以，数学期望E(X)=16.（14分）已知函数满足（1） 求函数的解析式；（2） 当时，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解 （1）令，则，所以，故函数的解析式为 3分（2）当时，此时 ； 当时，此时 ； 当时，此时 ； 当时，此时 ； 猜想：当，都有 6分要证明：当，都有，即要证：当，证明：当时，显然，成立；假设当时，成立，那么，当时，又当时，故，所以时，结论成立， 由，根据数学归纳法可知，当，都有 10分17.（14分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a.MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为.因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为.18.（16分）如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧(弧在扇形的弧上)、半径和线段(其中)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若.（1） 用表示的长度；（2） 求所需渔网长度(即图中弧、半径和线段长度之和)的取值范围解：(1) 由CDOA，AOB，AOC，得OCD，ODC，COD.在OCD中，由正弦定理，得CDsin，8分(2) 设渔网的长度为f()由(1)可知，f()1sin10分所以f()1cos，因为，所以，令f()0，得cos，所以，所以.13分f()0f()极大值所以f().故所需渔网长度的取值范围是16分19（16分）已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线， 的斜率分别为，求证：为定值.解:（1）依题意，由已知得 ，由已知易得,解得. 3分 则椭圆的方程为. 4分(2) 当直线的斜率不存在时，由解得.设，则为定值6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得7分依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，. 9分又，所以 10分 15分综上得为常数2. 16分20（16分）已知函数，并设，（1）若图像在处的切线方程为，求、的值；（2）若函数是上单调递减，则 当时，试判断与的大小关系，并证明之； 对满足题设条件的任意、，不等式恒成立，求 的取值范围解：（1）因为，所以，2分又因为图像在处的切线方程为，所以 ，即，解得 ， 4分（2）因为是上的单调递减函数，所以恒成立，即对任意的恒成立， 6分所以，所以，即且，令，由，知是减函数，故在内取得最小值，又，所以时，即 10分 由知，当时，或，因为，即，解得，或，所以，而，所以或，不等式等价于，变为或恒成立， 12分当时，即，所以不等式恒成立等价于恒成立，等价于，14分而，因为，所以，所以，所以，所以，所以16分