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第四章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|abi| (a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()2原点是实轴与虚轴的交点()3方程x2x10没有解()类型一复数的概念例1已知复数za2a6i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数(3)由a2a60且a22a150且a240，得a3，当a3时，z0.引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由解由a2a60且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时：(1)zR；(2)z为虚数考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以解得x4，所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x且x4.所以当x且x4时，z为虚数类型二复数的四则运算例2(1)计算：2018；(2)已知z1i，求的模考点复数四则运算的综合运用题点复数的混合运算解(1)原式1009i(i)100900.(2)1i，的模为.反思与感悟(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位i的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)；inin1in2in30(nN)跟踪训练2(1)已知2i，则复数z等于()A13iB13iC3iD3i考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案B解析2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.(2)已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)求复数z；求的模考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解解设zabi(a，bR)，由z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.2i，|2i|.类型三数形结合思想的应用例3已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值考点分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点数形结合思想的应用解(1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos21)i1(2sin2)i12isin2.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin0，因此sin，或.反思与感悟根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论跟踪训练3在复平面内，设z1i(i是虚数单位)，则复数z2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系答案A解析z2(1i)22i(1i)2i1i，复数z2对应点的坐标为(1,1)，故在第一象限.1若z12i，则等于()A1B1CiDi考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析i.2复数z(aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于()A2B1C1D2考点乘除法的运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案D解析z在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2a0，即a2.3设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z等于()A1iB1iC1iD1i考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解答案A解析设zabi(a，bR)，则abi，所以zi22z，即2(a2b2)i2a2bi，根据复数相等的充要条件得22a，a2b22b，解得a1，b1，故z1i.4若复数z满足|z|，则z_.考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解答案34i解析设zabi(a，bR)，abi，|z|，|z|24i，则abi24i，解得z34i.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.一、选择题1i是虚数单位，若集合S1,0,1，则()AiSBi2SCi3SD.S考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案B2已知i是虚数单位，m，nR，且mi1ni，则等于()A1B1CiDi考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析由mi1ni(m，nR)，得m1且n1，则i.3若a为正实数，i为虚数单位，2，则a等于()A.B2C.D1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析(ai)(i)1ai，|1ai|2，解得a或a(舍)4已知z112i，z2m(m1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为()AB.CD.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案D解析因为z1z2(12i)m(m1)im2(m1)2m(m1)i(2m)(3m1)i，所以2m3m1，即m.经检验，m能使2m3m10，所以m满足题意5已知复数z(bR)的实部为1，i为虚数单位，则复数b在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系答案C解析zi，又复数z(bR)的实部为1，1，即b6.z15i，则15i.复数b15i675i，在复平面上对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象限故选C.6设z(2t25t3)(t22t2)i，tR，i为虚数单位，则以下结论正确的是()Az对应的点在第一象限Bz一定不为纯虚数C.对应的点在实轴的下方Dz一定为实数考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析t22t2(t1)210，z对应的点在实轴的上方又z与对应的点关于实轴对称，C正确7复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2iB2iC5iD5i考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案D解析由(z3)(2i)5，得z32i，z5i，5i.二、填空题8若复数zai(aR)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a_.考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合应用答案1解析ai，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a21，所以a1.9i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案1解析因为(1i)z2，所以z1i，所以其实部为1.10在复平面内，若zm2(1i)m(4i)6i(i为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案(3,4)解析zm24m(m2m6)i所对应的点在第二象限，解得3m4.11如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若i(i为虚数单位)，则z2_.考点复数的乘除法运算法则题点复数与点的对应关系答案2i解析由题图可知，z112i，由i，得z2z1i(12i)i2i.三、解答题12已知复数z1(1bi)(2i)，z23(1a)i (a，bR，i为虚数单位)(1)若z1z2，求实数a，b的值；(2)若b1，a0，求.考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算解(1)复数z1(1bi)(2i)2b(2b1)i，z23(1a)i，由z1z2，可得解得所以a2，b1.(2)若b1，a0，则z113i，z23i.2.13已知复数z1满足z1(1i)2(i为虚数单位)，若复数z2满足z1z2是纯虚数，z1z2是实数，求复数z2.考点复数四则运算的综合运用题点与混合运算有关的未知数求解解z1(1i)2，z11i.设z2abi(a，bR)，z1z21a(b1)i是纯虚数，a1，b1.z1z2(1i)(1bi)(1b)(b1)i，又z1z2是实数，则b10，b1，z21i.四、探究与拓展14若a是复数z1(1i)(3i)的虚部，b是复数z2的实部，则ab_.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案解析z1(1i)(3i)42i，由a是复数z1(1i)(3i)的虚部，得a2.z2i，由b是复数z2的实部，得b.则ab2.15求虚数z，使zR，且|z3|3.考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解解设zabi(a，bR且b0)，则zabii.由zR，得b0，又b0，故a2b29.又由|z3|3，得3.由，得即zi或zi.
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