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课时作业42空间点、直线、平面之间的位置关系 基础达标一、选择题12019江西七校联考已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案：D2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()Ab BbCb或b Db与相交或b或b解析：b与相交或b或b都可以答案：D3.如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，A，M，O三点共线答案：A42019河北张家口模拟三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，AA1平面ABC，AA1AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OBBC，所以OBB1C1，OBB1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MNB1C1，MNB1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NOMB，所以ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB2，则有AO，ONBM，AN，在ANO中，由余弦定理可得cosANO.故选C.答案：C52019安徽联合检测若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：解法一如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则ABC1D1且ABC1D1，所以AC1BD1，故A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角连接A1D1，过点A1作A1MAC于点M，连接BM，设AA12，由A1AMBAC60，得AM1，BM，A1M，因为平面A1ACC1平面ABC，A1M平面A1ACC1，所以A1M平面ABC，所以A1MBM，所以A1B，在菱形A1ACC1中，易求得AC12BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D12，所以cosA1BD1，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.解法二令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直以M为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设AA1ACAB2，则A(1,0,0)，B(0，0)，A1(0,0，)，C1(2,0，)，所以(3,0，)，(0，)，所以cos，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.答案：B二、填空题6设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.解析：当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案：7如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，HN，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以图(2)，(4)中GH与MN异面答案：(2)(4)82019福建四地六校联考已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为_解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD.MPN或其补角为AB与CD所成的角，则MPN60或MPN120，PMAB，PMN或其补角是AB与MN所成的角，ABCD，PMPN，若PMN60，则PMN是等边三角形，PMN60，AB与MN所成的角为60.若MPN120，则PMN30，AB与MN所成的角为30，综上，异面直线AB与MN所成的角为30或60.答案：30或60三、解答题9.如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线证明：因为ABCD，所以AB，CD确定一个平面.又因为ABE，AB，所以E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线10如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD与BC是异面直线证明：假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P，A，B，C，D都在平面内，直线a，b，c都在平面内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立AD和BC是异面直线能力挑战112019武汉调研在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AECF1.(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；(2)求四面体EFC1A1的体积解析：(1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，延长DC至M，使CM1，则AE綊CM.连接AC，EM，ME綊AC綊A1C1，连接MC1，A1E綊C1M，FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角在FC1M中，C1FC1M，FM2，cosFC1M.故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.(2)在D1C1上取一点N，使ND11.连接EN，FN，A1N，A1E綊FN，A1N綊EF，EF平面EFC1，A1N平面EFC1，A1N平面EFC1，VA1EFC1VNEFC1VENFC1SNFC132333.故四面体EFC1A1的体积为3.
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