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3.2.2复数的乘法和除法学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质知识点一复数的乘法思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理(1)复数的乘法设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，定义z1z2(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3对复数z，z1，z2和自然数m，n有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.(3)共轭复数的性质设z的共轭复数为，则：z|z|2|2.()2.知识点二复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如，你能写出复数的除法法则吗？答案设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.梳理(1)复数的倒数已知zabi(a，bR)，如果存在一个复数z，使zz1，则z叫做z的倒数，记作.(2)复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i(a，b，c，dR且cdi0)特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)1复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减()2两个共轭复数的和与积是实数()3若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()类型一复数的乘除运算例1计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4).解(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.(3)(23i)(12i)i.(4)方法一2i.方法二ii2i.反思与感悟(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行跟踪训练1计算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3).解(1)原式(1i)(1i)21i.(2)原式i.(3)原式i1.类型二共轭复数的性质及应用例2已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.反思与感悟(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质(2)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数跟踪训练2已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i或i.类型三in的周期性例3计算：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(2)；(3)2 016.解(1)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284i21i3i2)4739i.(2)原式3iii0.(3)原式1 0080(i)1 008i1.反思与感悟(1)in的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)inin1in2in30(nN)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i.设i，则2i，31,120.跟踪训练3计算：1ii2i3i2 012.解i21，i3ii2i，i4(i2)21，i5i4ii，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1且ii2i3i40，1ii2i3i2 0121(ii2i3i4)5031.1若复数z，其中i为虚数单位，则等于()A1i B1i C1i D1i答案B解析z1i，1i，故选B.2设复数z11i，z2mi，若z1z2为纯虚数，则实数m可以是()Ai Bi2 Ci3 Di4答案B解析z1z2(1i)(mi)m1(m1)i.z1z2为纯虚数，即得m1，i21，实数m可以是i2，故选B.3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是()AM BNCP DQ答案D解析由图可知z3i.复数2i表示的点是Q(2，1)故选D.4复数z的共轭复数记作.已知(12i)(3)43i，则z_.答案5i解析(12i)(3)43i，3，3，335i，则z5i.5已知复数z的共轭复数为，且z(3i)，求z.解设zabi(a，bR)，则abi，由z(3i)，得z 3zi13i，即a2b23b3ai13i，由复数相等的充要条件，得解得或所以z1或z13i.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i等于()A2 B2i C2 D2i答案C解析z1i，1i，则ii(1i)1ii12.2若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.答案D解析(34i)z|43i|，zi，则z的虚部是.3若z6，z10，则z等于()A13i B3iC3i D3i答案B解析设zabi(a，bR)，由题意得得或z3i.4已知复数z，是z的共轭复数，则z等于()A. B. C1 D2答案A解析z.z.5已知复数z(bR)的实部为1，则复数b在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析zi，又复数z(bR)的实部为1，则1，即b6.z15i，则15i.复数b15i675i，在复平面内对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象限故选C.6i为虚数单位，i607的共轭复数为()Ai Bi C1 D1答案A7当z时，z100z501的值等于()A1 B1 Ci Di答案D解析z2i，则z100z501(i)50(i)251i1242(1)25i64111i1i.二、填空题8已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.答案1解析2aibi，即得ab1.9设复数z12i，z213i，则复数的虚部为_答案1解析iiii，虚部为1.10定义一种运算：adbc，则复数的共轭复数是_考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案13i解析3i(1i)213i，其共轭复数为13i.11如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于第_象限答案二解析由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，对应的点在第二象限三、解答题12已知i是虚数单位，且复数z满足(z3)(2i)5.(1)求z及|z23i|；(2)若z(ai)是纯虚数，求实数a的值解(1)(z3)(2i)5，z33(2i)35i.|z23i|34i|5.(2)由(1)可知，z5i，z(ai)(5i)(ai)(5a1)(a5)i.又z(ai)是纯虚数，5a10且a50，解得a.13已知z是复数，z2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解z是复数，z2i与均为实数，可设zx2i(xR)，可得x2.因为复数(zai)2(22iai)2a24a4(a2)i，因为复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，所以所以即2a4.所以实数a的取值范围为(2,4)四、探究与拓展14投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为_考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用答案解析易知(mni)(nmi)mnm2in2imn2mn(n2m2)i.若复数(mni)(nmi)为实数，则m2n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为.15已知z，为复数，(13i)z为纯虚数，且|5，求.解设zmni(m，nR)，因为(13i)z(13i)(mni)m3n(3mn)i为纯虚数，所以m3n0，且3mn0，.由|5，得(5)2，即m2n2250.由可得或代入，得(7i)
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