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学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化(建议用时：45分钟)学业达标1将下列参数方程化为普通方程：(1)(为参数，a、b为常数，且ab0)；(2)(t为参数，p为正常数)【解】(1)由cos2sin21，得1，这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆(2)由已知t，代入x2pt2得2px，即y22px，这是一条抛物线2已知抛物线C的参数方程为(t为参数)若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x4)2y2r2(r0)相切，求r的值【解】由得y28x，抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，直线方程为yx2，即xy20.因为直线yx2与圆(x4)2y2r2相切，由题意得r.3若直线(t为参数)与直线4xky1垂直，求常数k的值【解】将化为普通方程为yx，斜率k1，当k0时，直线4xky1的斜率k2，由k1k2()()1得k6；当k0时，直线yx与直线4x1不垂直综上可知，k6.4过椭圆1内一定点P(1,0)作弦，求弦的中点的轨迹【解】设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为yk(x1)，代入方程1，得(9k24)x218k2x9k2360.由根与系数的关系，得x1x2，所以k，即k，代入yk(x1)中，得4x29y24x0，即1.当ABOx轴时，线段AB的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程，所以所求的轨迹方程为1.点M的轨迹是以O、P为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆5已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，R)，点M(5,4)在该曲线上，(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程【解】(1)由题意，可知故所以a1.(2)由已知及(1)得，曲线C的方程为由得t，代入得y()2，即(x1)24y为所求6已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：cos2与曲线C2：(tR)交于A、B两点求证：OAOB.【导学号：98990031】【证明】曲线C1的直角坐标方程为xy4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两个方程联立，消去x，得y24y160y1y216，y1y24.x1x2y1y2(y14)(y24)y1y22y1y24(y1y2)160，0，OAOB.7设点M(x，y)在圆x2y21上移动，求点P(xy，xy)的轨迹【解】设点M(cos ，sin )(02)，点P(x，y)，则22，得x22y1，即x22(y)，所求点P的轨迹方程为x22(y)(|x|，|y|)它是顶点为(0，)，开口向上的抛物线的一部分能力提升8在平面直角坐标系xOy中，求圆C的参数方程为(为参数，r0)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2.若直线l与圆C相切，求r的值【解】将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：xy40，将圆C的参数方程化为普通方程得：(x1)2y2r2，由题设知：圆心C(1,0)到直线l的距离为r，即r，即r的值为.
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