资源描述
2.2.1综合法与分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法知识点二综合法阅读下列证明过程，已知实数x，y满足xy1，求证：2x2y2.证明：因为xy1，所以2x2y222，当且仅当xy时，等号成立故2x2y2成立思考该题的证明顺序是什么？答案从已知利用基本不等式到待证结论梳理综合法(1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论(2)逻辑关系：P0(已知)P1P2PnQ(结论)(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件知识点三分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b0，求证.证明：要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件梳理分析法(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实(2)逻辑关系：B(结论)B1B2BnA(已知)(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件(4)证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立1综合法是执果索因的逆推证法()2分析法就是从结论推向已知()3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()类型一综合法的应用例1在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明在ABC中，ABC，由A，B，C成等差数列，得2BAC，因此，B，由a，b，c成等比数列，得b2ac.又b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c2acac，即(ac)20，因此ac.故ABC是等边三角形反思与感悟用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数求证：3.证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3633，即3.类型二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：(ab)证明当ab0时，因为0，所以(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.由于a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)综上，对任意实数a，b，(ab)反思与感悟(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解跟踪训练2求证：(a3)证明要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a322a32，只需证，只需证02，而02显然成立，所以(a3)类型三综合法与分析法的综合应用例3已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需证logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式知0，0，0.因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得abc，即abc成立所以logxlogxlogx0)证明要证(ab)(a21)(b21)成立，只需证2(ab)(a21)(b21)，只需证(ab)2(a21)(b21)(ab0)由于函数yx在(0，)内是减函数，所以只需证(ab)2(a21)(b21)，即证a22abb2a2b2a2b21，即证a2b22ab10，即证(ab1)20，上式显然成立，所以原不等式成立反思与感悟综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证2，只要证aycx2xy，只要证2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命题得证.1若ab0，则下列不等式中不正确的是()Aa2ab Babb2C. Da2b2答案C解析若ab0，则.2要证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2b0时，才有a2b2，只需证，即证()2()2.3设0x1，则a，bx1，c中最大的是()Ac BbCa D随x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.4要证明1，xy0，则()Ax0，y0 Bx0，y0，y0 Dx0答案A解析2在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是()Ab2c2a2 Bb2c2a2Cb2c2a2 Db2c2a2答案D解析由余弦定理的推论，得cos A，A为钝角，cos A0，则b2c2a2.3要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0考点分析法及应用题点利用分析法解决不等式问题答案D解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.4设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab1Cab1 D.ab4ab，ab1，故B正确5分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设abc，且abc0，求证：0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析要证a，只需证b2ac3a2，只需证b2ac3a20.abc0，acb，只需证(ac)2ac3a20，即证(ac)(ab)0.6若A，B为ABC的内角，则AB是sin Asin B的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理知2R(R为ABC的外接圆半径)，又A，B为三角形的内角，sin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.7设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)单调递减若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数由x1x20，可知x1x2，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是_答案abc解析a，b，c，abc.10.如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.证明：要证AFSC，只需证SC平面AEF，只需证AESC(因为_)，只需证_，只需证AEBC(因为_)，只需证BC平面SAB，只需证BCSA(因为_)由SA平面ABC可知，上式成立答案EFSCAE平面SBCAESBABBC解析要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC平面SAB，可得AEBC，进而AE平面SBC，SC平面AEF，问题得证11设a0，b0，则下面两式的大小关系为ln(1)_lg(1a)lg(1b)答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，则lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)三、解答题12如果a，b都是正数，且ab，求证： .证明方法一(综合法)0，故 .方法二(分析法)要证，只需证2ab2，即证a3b3a2bab2，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)，即需证a2abb2ab，只需证(ab)20，因为ab，所以(ab)20恒成立，所以 成立13在ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2ccos2b.证明左边(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb右边，acos2ccos2b.四、探究与拓展14如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线互相垂直(答案不唯一)解析要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可15某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：2；2；2.(1)已知(1.41,1.42)，(1.73,1.74)，(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；(2)请将此规律推广至一般情形，并证明之考点分析法及其应用题点分析法解决不等式问题解(1)验证式成立：1.74，1.41，22.82，2.(2)一般结论为：若nN，则2.证明如下：要证2，只需证()2(2)2，即证2n224n4，也就是证n1，只需证n(n2)n22n1，即证01，显然成立，故2(nN)
展开阅读全文