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第2课时一元二次不等式的应用学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一分式不等式的解法思考0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？答案等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)0f(x)g(x)0；(2)0(3)a0.知识点二一元二次不等式恒成立问题思考x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？答案x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集梳理一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图象全部在x轴上方区间a，b是不等式f(x)0的解集的子集恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.1由于0等价于(x5)(x3)0，故y与y(x5)(x3)图象也相同()2x212x等价于(x21)min2x.()3对于ax23x20，当a1时与a1时，对应的不等式是两个独立的不等式，所以解集也是相互独立的，不能求并集()类型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2)1.考点分式不等式的解法题点分式不等式的解法解(1)0(2x5)(x4)04x，原不等式的解集为.(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x0(1.考点分式不等式的解法题点分式不等式的解法解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.类型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，则即4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立，就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可综上所述，m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围解f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60.设g(m)m(x2x1)6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2x120.g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0，即3(x2x1)60，x2x10，方程x2x10的两根为x1，x2，x2x10的解集为，即x的取值范围为.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪训练2当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立答案(，5解析构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则有即可得所以m5.类型三含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2(a1)x10.考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解当a0时，不等式可化为(x1)0，a0，1，不等式的解集为.当a0时，不等式x10，解集为x|x1当a0时，不等式可化为(x1)0.当0a1时，1，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.当a1时，1，不等式的解集为.综上，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论跟踪训练3解关于x的不等式(xa)(xa2)0.考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解当a0或a1时，有aa2，此时，不等式的解集为x|axa2；当0a1时，有a2a，此时，不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，原不等式无解综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2x2或x1.3当不等式x2xk0恒成立时，k的取值范围为_考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在R上恒成立问题答案解析由题意知0，即14k，即k.4解关于x的不等式：x2(1a)xa0.考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a.因为函数yx2(1a)xa的图象开口向上，所以当a1时，原不等式的解集为x|ax1时，原不等式的解集为x|1xf(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立a0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.一、填空题1不等式2的解集是_考点分式不等式的解法题点分式不等式的解法答案解析2不等式的解集为.2若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为_考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立答案3解析由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3，m的最大值为3.3设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为_考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法答案解析a1，a(xa)0.又aa，x.不等式的解集为.4若a0，b0，则不等式b0(m0)的解集可能是_；R；.考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法答案解析因为a24m0，所以函数ymx2ax1的图象与x轴有两个交点，又m0，所以原不等式的解集不可能是.6对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是_考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立答案x|x3解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)0恒成立且a1,1x3.7若关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是_考点一元二次不等式的解法题点根的分布答案(2,1)解析令f(x)x2(a21)xa2，依题意得f(1)0，即1a21a20，a2a20，2a1.8对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是_考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法答案(2,2解析当a20时，即解得2a2.当a20时，40恒成立，综上所述，2a2.9若不等式ax22ax(a2)0的解集是，则实数a的取值范围是_考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法答案(1,0解析当a0时，20，解集为，满足题意；当a0时，a满足条件解得1a0.综上可知，a的取值范围是(1,010不等式1的解集为_考点分式不等式的解法题点分式不等式的解法答案解析因为1等价于0，所以0，等价于解得4x.11若不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，则实数a的取值范围是_考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在R上恒成立问题答案解析当a210时，a1或a1.若a1，则原不等式为10，恒成立，满足题意若a1，则原不等式为2x10，即x，不合题意，舍去当a210，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a1.综上，a的取值范围是.12若方程x2(m3)xm0有两个正实根，则m的取值范围是_考点“三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值答案(0,1解析由题意得解得0m1.二、解答题13已知一元二次不等式ax2bxc0的解集为(，)，且0，求不等式cx2bxa0的解集考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解方法一由题意可得a0，且，为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得a0,0，由得c0，则cx2bxa0可化为x2x0.，得0.由得0.，为方程x2x0的两根又0，0，不等式x2x0的解集为，即不等式cx2bxa0的解集为.方法二由题意知a0，由cx2bxa0，得x2x10.将方法一中的代入，得x2()x10，即(x1)(x1)0.又0，0.所求不等式的解集为.三、探究与拓展14关于x的不等式组的整数解的集合为2，求实数k的取值范围考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解2是2x2(2k5)x5k0的解，2(2)2(2k5)(2)5kk20.k2，2x2(2k5)x5k(xk)(2x5)0的解集为x|x2，20.考点一元二次不等式的解法题点含参数的一元二次不等式的解法解(1)当a0时，原不等式可化为2x40，解得x2，所以原不等式的解集为x|x0时，原不等式可化为(ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22.当0a2，所以原不等式的解集为；当a1时，2，所以原不等式的解集为x|x2；当a1时，2，所以原不等式的解集为.(3)当a0时，原不等式可化为(ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22，则2，所以原不等式的解集为.综上，当a0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为x|x2；当0a1时，原不等式的解集为.
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