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第五单元 数列课时作业(二十八)第28讲数列的概念与简单表示法基础热身1.在数列an中,a1=1,an+1=2an+1(nN*),则a4的值为()A.31B.30C.15D.632.2017天门三校月考 数列-1,4,-9,16,-25,的一个通项公式为()A.an=n2B.an=-1nn2C.an=-1n+1n2D.an=-1n(n+1)23.数列0,2,6,14,30,的第6项为()A.60B.62C.64D.944.2017吉林一中月考 数列an的通项公式为an=3n2-28n,则数列an的最小项是第项.5.2017衡阳期末 在数列an中,其前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n(nN*),则an=.能力提升6.2017保定二模 在数列an中,其前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan-1的最大项的值为()A.-3B.-1C.3D.17.在数列an中a1=3,(3n+2)an+1=(3n-1)an (n1),则an=()A.63n-1B.6n+1C.92n+1D.32n-18.在数列an中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则a2018=()A.-6B.-3C.3D.69.2017郑州一中模拟 已知数列an满足an=8+2n-72n(nN*).若数列an的最大项和最小项分别为M和m,则M+m=()A.112B.272C.25932D.4353210.已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,则下列结论中正确的是()A.只有有限个正整数n使得an2bnC.数列an-2bn是递增数列D.数列anbn-2是递减数列11.2018江西省宜春三中月考 设数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=Sn(nN*),则通项公式an=.12.已知函数fx=x2-3tx+18,x3,(t-13)x-3,x3,记an=fn(nN*),若an是递减数列,则实数t的取值范围是.13.2017锦州质检 已知数列an满足a1=1,an-an+1=2anan+1n(n+1),nN*,则an=.14.(10分)2018六盘山高级中学月考 设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=24,S11=0.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn,并求使得Sn取得最大值时n的值.15.(13分)2017信阳质检 已知数列an满足a2=72,且an+1=3an-1.(1)求数列an的通项公式以及数列an的前n项和Sn的表达式;(2)若不等式an+12an+1-32m对任意的nN*恒成立,求实数m的取值范围.难点突破16.(12分)2018宜春三中月考 设a1=2,a2=4,数列bn满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列bn+2是等比数列;(2)求数列an的通项公式.加练一课(四)递推数列的通项的求法一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2017遵义航天高级中学月考 数列an满足a1=1,an+1=2an-1,则an=()A.1B.2n-1C.nD.-12.已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=6,那么a10等于()A.165B.33C.30D.213.2017黄山二模 已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(nN*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.若数列an前8项的值各异,且an+8=an对任意的nN*都成立,则下列数列中可取遍an前8项值的数列为()A.a2k+1B.a3k+1C.a4k+1D.a6k+15.2017揭阳模拟 已知数列an满足a1=1,an+1=n+1n+2an,则an=()A.1nB.2n+1C.12n-1D.32n+16.2017三明质检 已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2017=()A.321008-3B.22017-1C.22009-3D.21010-37.已知数列an满足a1=1,an+1=an+1n+1+n,则an=()A.3n-2B.2n-1C.nD.2n+18.已知数列an满足a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),则an=()A.2n2+1B.3n2+2C.1n2-n+1D.2n2-n+29.2017赣州期末 已知数列an的前n项和为Sn,若an+1+(-1)nan=n,则S40=()A.120B.150C.210D.42010.已知数列an满足a1=2,且an=2nan-1an-1+n-1(n2,nN*),则an=()A.2n+12n+1B.n2n+12n-1C.n2n2n-1D.2n2n-111.2017福州第一中学质检 已知数列an满足a1=a2=12,an+1=2an+an-1(nN*,n2),则i=220171ai-1ai+1的整数部分是()A.0B.1C.2D.312.已知Sn为数列an的前n项和,且an=2an-1,n6,an-1+1,2n6,a1=a(aR).给出下列3个结论:数列an+5一定是等比数列;若S5100,则a18;若a3,a6,a9成等比数列,则a=-43.其中,所有正确结论的序号为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若数列an满足a1=1,an+1=an+2,则a10=.14.2017深圳调研 若数列an,bn满足a1=b1=1,bn+1=-an,an+1=3an+2bn,nN*,则a2017-a2016=.15.2017株洲一模 已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 (n2),则数列an的通项公式为an=.16.2018 南宁二中、柳州高中联考 已知数列2008,2009,1,-2008,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2018项之和S2018=.课时作业(二十九)第29讲等差数列及其前n项和基础热身1.2017重庆诊断 设Sn为等差数列an的前n项和,a1=-2,S3=0,则an的公差为()A.1B.2C.3D.42.在等差数列an中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=()A.30B.27C.24D.213.2017葫芦岛期末 已知Sn为等差数列an的前n项和,若a4+a9=10,则S12=()A.30B.45C.60D.1204.2017大理模拟 在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,那么a5=.5.在等差数列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d=.能力提升6.2017河南八市联考 在等差数列an中,若a2+a4+a6=3,则a1+a3+a5+a7=()A.3B.4C.5D.67.2017杭州质检 设an是等差数列,Sn为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(ijkl),则()A.aialajakB.aialajakC.SiSlSjSkD.SiSlSjSk8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得Sn取最小值时,n的值为()A.1B.6C.7D.6或79.2017长沙模拟 九章算术是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及解法,其中一个问题可用现代汉语描述为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节容积之和为4升,求中间一节的容积为多少?”则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为()A.176升B.72升C.11366升D.10933升10.2017蚌埠质检 已知数列an满足a1=0,数列bn为等差数列,且an+1=an+bn,b15+b16=15,则a31=()A.225B.200C.175D.15011.2017桂林、崇左、百色模拟 已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2017,S20142014-S20082008=6,则S2017=.12.2017浙江五校联考 已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,an=23an-1+13bn-1+1,bn=13an-1+23bn-1+1(n2,nN*),则(a1008+b1008)(a2017-b2017)=.13.(15分)2017北京海淀区期中 已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an+an+1的前n项和.14.(15分)2017安徽师大附中期中 已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn是1与an的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列2anan+1的前n项和Tn.难点突破15.(5分)2017太原期中 已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a2a4=21,数列bn满足b1a1+b2a2+bnan=1-12n(nN*),若bn110,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.916.(5分)2017石家庄一模 已知数列an满足a1=-12,an+1bn=bn+1an+bn,且bn=1+(-1)n52(nN*),则数列an的前2n项和S2n取最大值时,n=.课时作业(三十)第30讲等比数列及其前n项和基础热身1.已知2是a与2-3的等比中项,则a=()A.2-3B.4(2-3)C.2+3D.4(2+3)2.在等比数列an中,a3=4,a6=12,则公比q=()A.12B.-12C.2D.-23.2017常德一模 已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6=()A.16B.32C.64D.1284.在等比数列an中,公比q=12,a3a5a7=64,则a4=. 5.2017太原质检 设Sn是等比数列an的前n项和,若S2=2,S6=4,则S4=.能力提升6.2017绍兴柯桥区二模 已知等比数列an的前n项和为Sn,且满足a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为()A.2B.3C.4D.57.2017衡阳联考 已知数列an为等比数列,且a3=-4,a7=-16,则a5=()A.8B.-8C.64D.-648.已知等比数列an满足log2a3+log2a10=1,且a5a6a8a9=16,则数列an的公比为()A.2B.4C.2D.49.2017泉州模拟 已知数列an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10的值为()A.7B.5C.-7D.-510.已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为()A.32B.53C.94D.25611.2017大连模拟 已知等差数列an的公差d0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,Sn为数列an的前n项和,则anSn的最小值为()A.0B.-3C.-20D.912.2017榆林一模 在等比数列an中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列Sn+2也是等比数列,则q=.13.已知an是正项等比数列,a2=3,a6=316,则a1a2+a2a3+a100a101=.14.(10分)2017上饶六校联考 已知数列an的前n项和为Sn,且an+1=1+Sn对一切正整数n恒成立.(1)试求当a1为何值时,数列an是等比数列,并求出它的通项公式;(2)在(1)的条件下,当n为何值时,数列lg400an的前n项和Tn取得最大值.15.(13分)2018广西钦州月考 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=+(n-1)2n,又数列bn满足anbn=n.(1)求数列an的通项公式.(2)当为何值时,数列bn是等比数列?此时数列bn的前n项和为Tn,若存在mN*,使得mT10+1013恒成立,则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.10237.2017合肥调研 已知数列an满足a1=2,4a3=a6,ann是等差数列,则数列(-1)nan的前10项的和S10=()A.220B.110C.99D.558.2017临川实验学校一模 我国古代数学名著九章算术中有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),该算法的前两步用现代汉语描述如下.第一步:构造数列1,12,13,14,1n.第二步:将数列的各项乘n2,得到一个新数列a1,a2,a3,an.则a1a2+a2a3+a3a4+an-1an等于()A.n24B.n-124C.nn-14D.nn+149.2017重庆第八中学月考 设数列an的前n项和为Sn,若an+1=(-1)n-1an+2n+1,则S32=()A.560B.360C.280D.19210.2017唐山一模 数列an是首项为1,公差为1的等差数列,数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,则数列anbn的前n项和等于.11.2017陕西黄陵中学模拟 已知数列an是公差为整数的等差数列,前n项和为Sn,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比数列,则数列1anan+1的前10项和为.12.2017玉溪质检 已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=1+sin2n2an+2cos2n2,则该数列的前20项和为.13.(15分)2017莆田一模 设数列an的前n项和Sn=2n+1-2,数列bn满足bn=1(2n+1)log2a2n-1 +22n-1. (1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Tn.14.(15分)2017佛山质检 已知数列an满足a1=1,an+1=an+2,数列bn的前n项和为Sn,且Sn=2-bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.难点突破15.(5分)2017洛阳三检 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+1=1+an1-an,若a1=2,则log2an的前2017项的和为()A.1B.2C.-6D.-58616.(5分)2017抚州临川区模拟 在数列an中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,nN*,若对于任意的a-2,2,不等式an+1n+12t2+at-1恒成立,则t的取值范围为.课时作业(三十二)第32讲数列的综合问题基础热身1.2017河北五校一模 设等差数列an的前n项和为Sn,a2,a4是方程x2-x-2=0的两个根,则S5=()A.-52B.-5C.5D.522.2017河南新乡一模 已知数列an为等差数列,且满足OA=a3OB+a2015OC,其中点A,B,C在一条直线上,点O为直线AB外一点,记数列an的前n项和为Sn,则S2017的值为()A.20172B.2017C.2018D.20153.2017宜宾二诊 数列an的通项公式为an=ncos2n4-sin2n4,其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.254.2017梅河口五中期末 已知数列an满足a1=33,an=12n2-12n+33,则ann取最小值时n=.5.现在传播信息的渠道有很多,可以通过广播、电视、网络等渠道进行传递.现有一人自编了一则健康有趣的笑话想通过QQ传递给好友进行分享,他立即通过QQ发给好友,用10秒钟发给了6个在线好友,接到信息的人同样用10秒钟将此信息发给不知此信息的6个在线好友,依此下去,则经过一分钟后有个人知道这条信息.能力提升6.2018鞍山第一中学一模 设an是首项为a1,公差为-2的等差数列, Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.8B.-8C.1D.-17.2017湖南五市十校联考 已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1m时,Sn与an的大小关系是()A.SnanD.大小不能确定8.2018河南名校联考 已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,a1a2a3a4a5=11024,且a2,a4,a3成等差数列,则S5=()A.3316B.3116 C.23D.11169.2017黄山二模 对正整数n,设曲线y=(2-x)xn在x=3处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列ann+2的前n项和等于()A.3n+12-3B.3n-32C.3n+1-32D.3n+3210.2017太原三模 已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(nN*)在函数y=32x的图像上,等比数列bn满足bn+bn+1=an(nN*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是()A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1C.TnanD.Tn1,a2015a20161,a2015-1a2016-10.给出下列结论:(1)0q0;(3)T2016的值是Tn中最大的;(4)使Tn1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A.(1)(3)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)16.(5分)2017湖南永州三模 已知数列an的前n项和Sn=-1n-1n,若对任意的正整数n,有(an+1-p)(an-p)an,即a5a4a3a2a1;当n5时,an+1a6a7.因此数列an先递增后递减,当n=5时,a5=25932为最大项,即M=25932,又当n时,an8,a1=112,最小项为112,即m=112,m+M=112+25932=43532.故选D.10.D解析 根据题意可构造数列an-2bn,则an+1-2bn+1=an+2bn-2an-2bn=(1-2)an-(1-2)2bn=(1-2)(an-2bn).因为a1=b1=1,所以a1-2b1=1-2,所以an-2bn是以1-2为首项,1-2为公比的等比数列,故an-2bn=(1-2)n,所以A,B不正确.因为an-2bn的公比为1-2,其绝对值小于1,所以|an-2bn|为递减数列,所以C不正确.anbn-2=1bn|an-2bn|,易知数列an,bn为递增数列,故1bn为递减数列,又|an-2bn|为递减数列,故anbn-2为递减数列,D正确.11.an=1,n=1,2n-2,n2解析 由an+1=Sn,可得an=Sn-1(n2),-得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n2),即an+1an=2(n2),又a2=S1=1,所以a2a1=12,则数列an从第二项起是以1为首项2为公比的等比数列,所以an=1,n=1,2n-2,n2.12.53,4解析 因为an是递减数列,数列an从a4项开始用式子(t-13)x-3计算,所以只要t-130,即t52且a3a4,即t53且9-9t+18t-13,解得53t4.综上,t的取值范围是53t4.13.n3n-2解析 由an-an+1=2anan+1n(n+1)可得1an+1-1an=2n(n+1)=21n-1n+1,利用累加法可得1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1=21n-1-1n+21n-2-1n-1+21-12,即1an-1a1=21-1n,可得1an=3-2n=3n-2n,即an=n3n-2.14.解:(1)设等差数列an的公差为d,由a3=24,S11=0,可得a1+2d=24,11a1+10112d=0,解得a1=40,d=-8,所以数列an的通项公式为an=48-8n.(2)由(1)知Sn=-4n2+44n=-4n-1122+121,因为nN*,所以当n=5或6时,Sn取得最大值.15.解:(1)因为a2=72,所以由a2=3a1-1可求得a1=32.因为an+1=3an-1,所以an+1-12=3an-12,所以数列an-12是以1为首项,以3为公比的等比数列.所以an-12=3n-1,即an=12+3n-1.故Sn=n2+3n-12=3n+n-12.(2)依题意,3n-1+13n-1m,即13+43(3n-1)m对任意的nN*恒成立.设cn=13+43(3n-1),则易知数列cn是递减数列,所以cnmax=c1=1.综上,可得m1.故所求实数m的取值范围是1,+).16.解:(1)证明:由题知bn+1+2bn+2=2bn+2+2bn+2=2,b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4,数列bn+2是以4为首项以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=42n-1,故bn=2n+1-2.an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1,累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1=(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2) =22(1-2n-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n-2,则an=2n+1-2n.加练一课(四)1.A解析 an+1=2an-1,an+1-1=2(an-1).a1-1=0,an-1=0,即an=1,故选A.2.C解析 a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30.故选C.3.D解析 由an+1=Sn+1,可得an=Sn-1+1(n2),-得an+1=2an,又a2=S1+1=3,a1=2,S5=2+3(1-24)1-2=47,故选D.4.B解析 因为数列an前8项的值各异,且an+8=an对任意的nN*都成立,所以该数列为周期为8的周期数列.为使数列中可取遍an前8项的值,必须保证项数被8除的余数可以取到0,1,2,3,4,5,6,7.经验证A,C,D都不可以,因为它们的项数全部由奇数组成,被8除的余数只能是奇数,故选B.5.B解析 由条件知an+1an=n+1n+2,分别令n=1,2,3,(n-1)(n2),可得a2a1=23,a3a2=34,a4a3=45,anan-1=nn+1,累乘得a2a1a3a2a4a3anan-1=2334n-1nnn+1,即ana1=2n+1.又a1=1,an=2n+1,故选B.6.D解析 数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),a2a1=2,解得a2=2.由题得an+1anan+2an+1=2n2n+1,即an+2an=2,数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为a1=1,a2=2,公比都为2,则S2017=(a1+a3+a2017)+(a2+a4+a2016)=1(1-21009)1-2+2(1-21008)1-2=21010-3,故选D.7.C解析 由条件知an+1-an=1n+1+n=n+1-n.分别令n=1,2,3,(n-1),代入上式得到(n-1)个等式,这些等式累加可得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=(2-1)+(3-2)+(4-3)+(n-n-1),即an-a1=n-1.又因为a1=1,所以an=n,故选C.8.D解析 因为an-an+1=nanan+1,所以an-an+1anan+1=1an+1-1an=n,所以1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a1=(n-1)+(n-2)+3+2+1+1a1=(n-1)(n-1+1)2+1=n2-n+22,则an=2n2-n+2.9.D解析 由已知得a3+a1=(a3+a2)-(a2-a1)=1,同理可得a5+a7=1,a37+a39=1,又a2+a4=(a3+a2)+(a4-a3)=2+3=5,a6+a8=13,a38+a40=77,S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a40)=101+(5+13+77)=10+410=420,故选D.10.C解析 由an=2nan-1an-1+n-1,得nan=n-12an-1+12,于是nan-1=12n-1an-1-1(n2,nN*).又1a1-1=-12,数列nan-1是以-12为首项,12为公比的等比数列,故nan-1=-12n(n2,nN*),当n=1时,a1=2满足上式,则nan-1=-12n,an=n2n2n-1(nN*),故选C.11.B解析 a1=12,a2=12,an+1=2an+an-1,an+1-an-12an=1,a3=2a2+a1=32,1ai-1ai+1=1ai-1ai+1ai+1-ai-12ai=12ai1ai-1-1ai+1=121ai-1ai-1aiai+1,i=220171ai-1ai+1=121a1a2-1a2a3+1a2a3-1a3a4+1a2016a2017-1a2017a2018=121a1a2-1a2017a2018=124-1a2017a2018=2-12a2017a20181,1i=220171ai-1ai+12,则i=220171ai-1ai+1的整数部分是1,故选B.12.B解析 根据题意,数列an满足an=2an-1,n6,an-1+1,2n6,且a1=a,则a2=a1+1=a+1,a3=a2+1=a+2,a4=a3+1=a+3,a5=a4+1=a+4,a6=2a5=2a+8,a7=2a6,对于,当a=-4时,a6=2a+8=0,此时数列an+5不是等比数列,故错误;对于,若S5100,则有S5=(a1+a2+a5)=5(a+2)100,则有a0,an-an-1=2,则数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,即an=2n-1.(2)2anan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1,Tn=1-13+13-15+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.15.C解析 设等差数列an的公差为d.S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,a2=3,a4=7,d=2,an=2n-1.设Tn=b1a1+b2a2+bnan=b11+b23+bn2n-1=1-12n,则Tn+1=b11+b23+bn2n-1+bn+12n+1=1-12n+1,两式作差得Tn+1-Tn=bn+12n+1=12n-12n+1=12n+1,所以bn+1=2n+12n+1,则bn=2n-12n.当bn110,即2n-12n0),由S3=14,a3=8,得S3=a1(1+q+q2)=14,a3=a1q2=8,可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=225=64,故选C.4.8解析 因为a3a5a7=64,所以a53=64,解得a5=4,故a4=a5q=8. 5.1+5解析 由等比数列的性质知S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(S4-2)2=2(4-S4),解得S4=1+5或S4=1-5(舍).6.B解析 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,则a6a5=3,故选B.7.B解析 设等比数列an的公比为q.数列an为等比数列,且a3=-4,a7=-16,a52=a3a7=(-4)(-16)=64,又a5=a3q2=-4q20,q=2.故选A.9.C解析 由等比数列的性质可知a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,故a4,a7是一元二次方程x2-2x-8=0的两个根,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,故a1=1,q3=-2,a10=-8或a1=-8,q3=-12,a10=1,所以a1+a10=-7.10.A解析 由各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,q2-q-2=0,q=2.aman=4a1,qm+n-2=16,2m+n-2=24,m+n=6,1m+4n=16(m+n)1m+4n=165+nm+4mn16(5+4)=32,当且仅当nm=4mn时等号成立,故1m+4n的最小值等于32.11.B解析 等差数列an的公差d0,且a3,a5,a15成等比数列,a1=3,(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0,d0,d=-2,则an=3+(n-1)(-2)=5-2n,Sn=3n+n(n-1)2(-2)=4n-n2,anSn=(5-2n)(4n-n2)=2n3-13n2+20n.设f(x)=2x3-13x2+20x,则f(x)=6x2-26x+20,令f(x)=0,得x1=1,x2=103,则f(x)在1,103上单调递减,在103,+上单调递增.结合f(x)的单调性可知,当n=3时,anSn取得最小值233-1332+203=-3.故anSn的最小值为-3.故选B. 12.3解析 由数列Sn+2也是等比数列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,则(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),即(4+4q+2)2=(4+2)(4+4q+4q2+2),解得 q=3或q=0(舍去).13.24(1-4-100)解析 由题得等比数列an的公比q=4a6a2=4116=12,所以a1=6,显然数列anan+1也是等比数列,其首项为a1a2=18,公比q=anan+1an-1an=q2=122=14,于是a1a2+a2a3+a100a101=181-141001-14=24(1-4-100).14.解:(1)由an+1=1+Sn得当n2时,an=1+Sn-1,两式相减得an+1=2an.因为数列an是等比数列,所以a2=2a1,又因为a2=1+S1=1+a1,所以a1=1,则an=2n-1.(2)易得数列lg4002n-1是一个递减数列,所以lg40020lg40021lg40022lg400280lg40029由此可知当n-1=8,即n=9时,数列lg400an的前n项和Tn取得最大值.15.解:(1)当n=1时,a1=S1=.当n2 时,an=Sn-Sn-1=(n-1)2n-(n-2)2n-1=n2n-1.故数列an的通项公式为 an=,n=1,n2n-1,n2.(2)由anbn=n,可得bn=1,n=1,12n-1,n2.因为数列bn为等比数列,所以首项b1=1 满足n2的情况,故=1.则Tn=b1+b2+bn=1-12n1-12=21-12n.因为Tn+1-Tn=12n0,所以Tn是递增的,故Tn1且Tn2.又存在mN*,使得mTn成立,则m的最大值为1. 16.解:(1)设等比数列an的公比为q,由a3=32,S3=92,得a1q2=32,a1(1+q+q2)=92,解得a1=6,q=-12或a1=32,q=1.则数列an的通项公式为an=32或an=6-12n-1.(2)当an=32时,bn=log26a2n+1=log2623=2,所以Tn=2n.由Tn=n2+105,得2n=n2+105,所以n=70.当an=6-12n-1时,bn=log26a2n+1=log266-122n=2n,故数列bn是首项为2,公差为2的等差数列,所以Tn=n2+n.由Tn=n2+105,得n2+n=n2+105,所以n=10或n=-212(舍).综上知,n=70或10.课时作业(三十一)1.B解析 由题知,所给数列的通项公式为an=2n+1+12n,则前n项和Sn=4(1-2n)1-2+121-12n1-12=2n+2-2-n-
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