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4反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等1反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，不成等差数列考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设，成等差数列，则2，4bac2.a，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故，不成等差数列类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.同理，.三式相加，得，即，显然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得其对应方程的14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x3有且只有一个根考点反证法及应用题点反证法的应用证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则3,3，两式相除得1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3若函数f(x)在区间a，b上是增加的，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增加的，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60B每一个内角都小于60C有一个内角大于60D每一个内角都大于60考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B3用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()Aa不垂直于cBa，b都不垂直于cCabDa与b相交考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案D4下面关于反证法的说法正确的有_(填序号)反证法的应用需要逆向思维；反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可考点题点答案解析反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故正确；使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故错误；反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故错误5用反证法证明：关于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，当a或a1时，至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则解得ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有()A0个B1个C2个D3个考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析错，应为ab；对；错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错，应为三角形至少有2个钝角5用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”6已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2；若a，bR，|a|b|2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选D.7设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2考点反证法及应用题点反证法的应用答案C解析假设a2，b2，c2，则6.又2226，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.二、填空题8用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设_考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案xa或xb9甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下甲说：“丙没有考满分”乙说：“是我考的”丙说：“甲说的是真话”若这三名同学中，只有一人说的是假话，则得满分的同学是_考点反证法及应用题点反证法的应用答案甲解析采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙说的也是假话，与题目矛盾；如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分，符合要求10若下列两个方程x2(a2)xa20，x2ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_考点反证法及应用题点反证法的应用答案(，82，)解析若两方程均无实根，则1(a2)24a2(3a2)(a2)0，a.2a28aa(a8)0，8a0，故8a2.若两个方程至少有一个方程有实根，则a8或a2.11将下列用反证法证题的过程补充完整题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设(a11)(a22)(a77)为奇数，则_均为奇数因为7个奇数之和为奇数，所以(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.显然与矛盾，故假设不成立，故(a11)(a22)(a77)为偶数考点反证法及应用题点反证法的应用答案a11，a22，a77奇数0三、解答题12已知xR，ax21，b4x5.求证：a，b中至少有一个不小于0.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a，b都小于0，即a0，b0，则ab0.又abx214x5x24x4(x2)20，这与ab0.这与abc0矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于0的四、探究与拓展14若a，b，c，d都是有理数，都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_考点反证法及应用题点反证法的应用答案ab，cd解析假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.15设an是公比为q的等比数列(1)推导数列an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列考点反证法及应用题点反证法的应用(1)解设数列an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列
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