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高考达标检测（四十） 轨迹方程求解3方法直接法、定义法、代入法一、选择题1(2018深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24x解析：选A设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹方程为x24y.2(2018呼和浩特调研)已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选B设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|MF2|2a2c，所以|PF1|PO|(|MF1|MF2|)ac，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆3已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()Ayx(1x)(0x1)Bxy(1y)(0y1)Cyx2(0x1)Dy1x2(0x1)解析：选A设D(0，)，E(1,1)，01，所以线段AD的方程为x1(0x1)，线段OE的方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点G的轨迹方程为yx(1x)(0x1)4.(2018安徽六安一中月考)如图，已知F1，F2是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析：选B延长F2Q与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是F1PF2的外角的角平分线，且PQF2M，所以在PF2M中，|PF2|PM|，且Q为线段F2M的中点又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|F1M|(|PF1|PF2|)由椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，所以|OQ|a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆5已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21解析：选A由题意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支c7，a1，b248，点F的轨迹方程为y21(y1)6(2018梅州质检)动圆M经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：选B双曲线x21的左焦点F(2,0)，动圆M经过点F且与直线x2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y28x.二、填空题7已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y18已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)9(2018河北定州中学测试)已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足，若双曲线 1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是_解析：由，可得动点P的轨迹方程为x2(y2)21，易知双曲线的一条渐近线方程为yx，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，所以1，即3a2b2，又b2c2a2，所以离心率e1，所以1eb0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解：(1)依题意得，c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆C的方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即1，故xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.11已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心坐标为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心坐标为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R，知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)，由l与圆M相切得1，解得k.当k时，yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.12在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(0,1)，(0，1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为，直线AP，BP与直线y2分别交于点M，N.(1)求动点P的轨迹方程；(2)求线段MN的最小值；(3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由解：(1)已知A(0,1)，B(0，1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线AP的斜率k1，直线BP的斜率k2(x0)，又k1k2，即y21(x0)(2)设直线AP的方程为y1k1(x0)，直线BP的方程为y1k2(x0)，由得M.由得N.k1k2，|MN|24，当且仅当4|k1|，即k1时等号成立，线段MN长的最小值为4.(3)设点Q(x，y)是以线段MN为直径的圆上的任意一点，则0，即(y2)(y2)0，又k1k2，故以线段MN为直径的圆的方程为x2x(y2)2120，令x0，得(y2)212，解得y22，以线段MN为直径的圆经过定点(0，22)或(0，22)在平面直角坐标系中，动圆经过点M(0，t2)，N(0，t2)，P(2,0)其中tR.(1)求动圆圆心E的轨迹方程；(2)过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x2于两点C，D，记ACD与BCD的面积分别为S1，S2.求S1S2的最小值解：(1)设动圆的圆心为E(x，y)，则|PE|22x2，即(x2)2y24x2，y24x.即动圆圆心E的轨迹方程为y24x.(2)当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，此时，A(2，2)，B(2，2)，|AB|CD|4，S1S2448，S1S216.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，直线AB的方程是yk(x2)，k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y，得k2x24(k21)x4k20，16(2k21)0，x1x2，x1x24.由A(x1，y1)，B(x2，y2)知，直线AC的方程为yx，直线BD的方程为yx，C，D，|CD|2|k(x2x1)|.S1(2x1)|CD|，S2(2x2)|CD|，S1S24(x1x2)|CD|8 .令t，则t0，S1S28(2t)，由于函数y8(2t)在(0，)上是增函数y16，即 S1S216，综上所述，S1S216，S1S2的最小值为16.
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