微积分下第一分册预备知识.ppt

6 4 一 平面图形的面积 定积分的应用 二 经济应用举例 由连续曲线 以及两直线 所围成的曲边梯形面积 一 平面图形的面积 定积分的几何意义 1 设曲线 与直线 及x轴所围曲 则 边梯形面积为S 所围成图形 2 由曲线 面积为 所围成图形 由曲线 面积为 所围成图形 由曲线 面积为 总结 例1 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 解 由 得交点 所围成图形 由曲线 3 直线 面积为 所围成图形面积为 由曲线 4 直线 轴 例2 计算抛物线 与直线 的面积 解 由 得交点 所围图形 为简便计算 选取y作积分变量 则有 例3 求椭圆 解 利用对称性 所围图形的面积 有 设 原积分 原积分 椭圆面积A 二 经济应用举例 1 已知总产量变化率求总产量 总产量为Q 其变化率是连续函数 为时间 例1 已知某产品的年销售率为 求总量函数 解 总量函数为 2 已知边际函数求总量函数 已知 求 固定成本 为产量 例2 已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为 且固定成本为100 其中Q为销售量 为总成本 为总收益 求总利润函数 解 总成本函数为 总收益函数为 总利润函数为 6 5 广义积分初步 积分区间 被积函数 无限 无界 无穷限积分 瑕积分 广义积分 一 无穷限积分 1 定义 如果对给定的实数a和任意实数b b a 函数 f x 在上可积 且极限存在 则称 无穷限积分收敛 并称此极限值为该无穷限 积分的积分值 记为 若上极限不存在 则称无穷限积分发散 类似 可定义无穷限积分的收敛与发散 存在 则称收敛 否则称其发散 c为某个常数 若均收敛 称收敛 否则称其发散 2 几何意义 表示由曲线与直线x a x轴所围成的向右延伸的平面图形的面积 3 计算 是的一个原函数 例1 讨论下列无穷限积分的敛散性 1 2 解 1 所以 原无穷限积分收敛 且 2 解 与均收敛 所以 也收敛 且 例2 讨论下列无穷限积分的敛散性 1 2 解 1 所以 原无穷限积分收敛 2 解 所以 原无穷限积分发散 二 瑕积分 称为瑕积分 或有限个点 处无界 使被积函数无界的点称为瑕点 若被积函数f x 在上的某点 定义 若对任意小的正数 函数f x 在区间 上皆可积 且 则当存在时 称瑕积分收敛 记为 若此极限不存在 则称瑕积分发散 类似的 当f x 在b或c a c b 点无界时 可定义瑕积 分的敛散性 若 则定义 若 则定义 例1 计算下列瑕积分 1 2 解 1 x 0为瑕点 2 解 x 1是瑕点 作变量替换 令 则 当 所以原积分 例2 讨论瑕积分的敛散性 解 为瑕点 所以 当 例3 计算瑕积分 解 第八章 8 1预备知识 多元函数微积分学 一 空间直角坐标系与空间中的点 二 空间曲面与方程 三 平面区域的概念 一 空间直角坐标系与空间中的点 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 在空间直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标平面 2 两点间的距离公式 A B两点间的距离公式 对两点 与 定义1 如果曲面S与方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 则F x y z 0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F x y z 0的图形 2 坐标满足此方程的点都在曲面S上 二 空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面 柱面 旋转曲面和二次曲面 1 平面 空间平面方程的一般形式 其中为常数 且 不全为零 例如 时 就得到 即yz平面 定义2 一条平面曲线 2 旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转轴 例如 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 给定yoz面上曲线C 则有 则有 该点转到 思考 当曲线C绕y轴旋转时 方程如何 3 柱面 引例 分析方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 在xoy面上 表示圆C 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面 对任意z 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 定义3 平行直线l并沿定曲线C移动形成的轨迹 叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 z轴的椭圆柱面 z轴的平面 表示母线平行于 且z轴在平面上 表示母线平行于 C叫做准线 l叫做母线 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 4 二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 三 平面区域的概念 设为xy平面上一定点 为一正数 以为圆心 为半径的开圆 称为点的 邻域 D为xy平面上的一点集 点 若存在 使得 则称D为内点 若为xy平面上一点 且对任意的 总存在 使得 则称为D的边界点 D的全体边界点所成的集合 称为D的边界 若D的任意一点都是内点 则称D为开集 设D为一开集 和为D内任意两点 若在D内存在 一条直线或由有限条直线段组成的折线将和连接 起来 则称D为连通区域 简称为区域 区域与区域 的边界所构成的集合 称为闭区域 如果存正数R 使得 则称D为有界区域 否则 称D为无界 区域 这里表示以圆点 0 0 为中心 R为半 径的开圆 例1 D的内点和边界点都是哪些点 例2 试判断是否为区域 若是区域 是否是有界区域 内点 边界点 为有界区域 为无界区域 不是区域 定义1 的一个平面点集 如果对D中 设D是xy平面上 任意一点 x y 按照某个确定的规则f 变量z总有唯 一的数值与点 x y 对应 则称变量z是变量x和y的二 元函数 记为 其中x和y称为自变量 点集D称为函数的定义域 几何意义 二元函数的几何意义表示空间中的一张曲面 其定义域D为该曲面在xy平面上的投影 第二节多元函数的概念 例1 解 所求定义域为 极限 定义1 二 多元函数的极限 且时恒有 记为 设函数z f x y 在点的某邻域内有 定义 在点处是否有定义无关紧要 A为某个 常数 如果对任意给定的 存在 使 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限存在p以任意方式趋于 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 4 二元函数极限的概念可相应的推广到n元函 数上去 或 也可记为 或 时极限都存在且相等 例1 求 解 原式 例2证明不存在 证 取 其值随k的不同而变化 故极限不存在 确定极限不存在的方法 1 若 极限值与k有关 则可断言极限不存在 2 找两种不同趋近方式 存在 但两者不相等 令P x y 沿y kx趋向于 使 此时也可断言 间断点 三 多元函数的连续性 定义3 如果 如果 若函数在内每一点都连续 函数在上连续 则称 一元函数中关于连续函数的运算法则 对于多元函数仍适用 积 商 分母不为零 仍连续 复合函数也连续 多元连续函数的 注 因此多元连续函数的和 差 闭区域上连续函数的性质 上有界 1 有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 必在D 且能取得它的最大值和最小值 在D上取得介于最大值和最小值之间的任何值 必定 练习题 一 填空题 1 若 则 2 若 则 3 若 则 4 若 则 5 函数 的定义域是 二 求下列各极限 1 2 练习题答案