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13概率1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为().A.互斥但非对立事件B.对立事件C.和事件是可能事件D.以上都不对解析由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件,故选A.答案A2.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为().A.12B.13C.23D.56解析设2本不同的数学书为a1,a2,1本语文书为b,则在书架上的摆放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中数学书相邻的有4种.因此2本数学书相邻的概率P=46=23,故选C.答案C3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为.解析事件A为“抽到一等品”,且P(A)=0.65,事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案0.354.在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为56,则m=.解析由|x|m,得-mxm.当0m2时,由题意得2m6=56,解得m=2.5,矛盾,舍去.当2m4时,由题意得m-(-2)6=56,解得m=3.答案3能力1互斥、对立事件的概率【例1】一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出的球是红球或黑球的概率;(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.解析(法一:利用互斥事件求概率)记事件A1=任取1个球为红球,事件A2=任取1个球为黑球,事件A3=任取1个球为白球,事件A4=任取1个球为绿球,则P(A1)=512,P(A2)=412=13,P(A3)=212=16,P(A4)=112.由题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出的球是红球或黑球的概率为P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.(法二:利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出的球为红球或黑球的对立事件为取出的球为白球或绿球,即事件A1A2的对立事件为A3A4,所以取出的球为红球或黑球的概率为P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=34.(2)因为事件A1A2A3的对立事件为A4,所以P(A1A2A3)=1-P(A4)=1-112=1112.求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法:(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:派出人数23456概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.解析(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(CD)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下外出家访,所以由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.能力2古典概型的求法【例2】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.解析(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.入选代表队的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100,因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,记“参赛女生有2人”为事件B,“参赛女生有3人”为事件C,则P(B)=C32C32C64=35,P(C)=C33C31C64=15.由互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=45,故所求事件的概率为45.1.求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.2.注意区别排列与组合,以及计数原理的正确使用.(1)同学聚会上,某同学从爱你一万年十年父亲单身情歌四首歌中选出两首歌进行表演,则爱你一万年未被选取的概率为().A.13B.12C.23D.56(2)从集合A=-2,-1,2中随机抽取一个数记为a,从集合B=-1,1,3中随机抽取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为().A.29B.13C.49D.14解析(1)分别记爱你一万年十年父亲单身情歌为A1,A2,A3,A4,从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能的结果为A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6种,其中A1未被选取的结果有3种,所以所求概率P=36=12.故选B.(2)(a,b)所有可能的结果为(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种.由ax-y+b=0得y=ax+b,当a0,b0时,直线ax-y+b=0不经过第四象限,符合条件的(a,b)的结果为(2,1),(2,3),共2种,故直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率P=29.答案(1)B(2)A能力3几何概型的应用【例3】(1)如图,已知小圆的半径为2 km,大圆的半径为4 km,假设卫星P(大小不计)在圆环内无规则地自由运动,则在运行过程中,卫星P与点O(O为圆心)的距离小于3 km的概率为.(2)在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为.解析(1)根据几何概型公式,小于3 km的圆环面积为(32-22)=5.圆环总面积为(42-22)=12,所以卫星P与点O的距离小于3 km的概率P=512=512.(2)设AC=x cm(0x12),则CB=(12-x)cm,故矩形的面积S=x(12-x)=12x-x2(cm2).由12x-x20,解得0x4或8xa的概率是().A.45B.35C.25D.15解析基本事件的个数为53=15,其中满足ba的有3种,所以ba的概率为315=15,故选D.答案D6.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出1个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出1个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是().A.15B.16C.56D.3536解析设a、b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意知,摸球试验共有36种不同的结果,满足a=b的基本事件共有6种,所以摸出编号不同的概率P=1-636=56,故选C.答案C7.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a、b、c,当且仅当ab,bc时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c1,2,3,4,且a,b,c互不相同,则这个三位数是“凹数”的概率是().A.16B.524C.13D.724解析选出一个三位数有A43=24种情况,其中是“凹数”的有C432=8种情况,所以所求概率P=824=13.答案C8.在不等式组0x2,0y2所表示的平面区域内任取一点P,若点P的坐标(x,y)满足ykx的概率为34,则实数k=().A.4B.2C.23D.12解析如图,满足不等式组的区域是边长为2的正方形,其面积是4.假设满足不等式ykx的区域为图中阴影部分,其面积为4-1222k,由几何概型的概率公式得点P的坐标(x,y)满足ykx的概率为4-1222k4=34,解得k=12.答案D9.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为().A.1136B.736C.711D.710解析先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的情况有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率P=711,故选C.答案C10.若函数f(x)=ex,0x1,lnx+e,1xe在区间0,e上随机取一个实数x,则f(x)的值不小于常数e的概率是().A.1eB.1-1eC.e1+eD.11+e解析当0x1时,恒有f(x)e=xe,不满足题意.当1xe时,f(x)=lnx+e,由lnx+ee,得1xe.故所求事件的概率为P=e-1e=1-1e.答案B二、填空题11.从2,3,8,9中任取2个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.解析从2,3,8,9中任取2个不同的数字,记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共12种情况,其中符合logab为整数的有(3,9)和(2,8)2种情况,故所求事件的概率P=212=16.答案1612.某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是.解析男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率P=1-C43C63=45.答案45三、解答题13.海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解析(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50150=1,150150=3,100150=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C62=15,每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件数为C32+C22=4,所以P(D)=415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.
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