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第3讲二项式定理考纲解读1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点)2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的必考点. 预测2020年将会考查：求二项式的特定项或项的系数；求二项式系数的最大项或二项式系数的和；与其他知识进行综合考查. 题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.1二项式定理2二项式系数的性质3.常用结论(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.(3)C2C3CnCn2n1.(4)CCCCCCC.(5)(C)2(C)2(C)2(C)2C.1概念辨析(1)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项(ab)2n中系数最大的项是第n项()(3)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)8的展开式中常数项为()A.B. C. D105答案B解析二项展开式的通项为Tk1C()8kkkCx4k，令4k0，解得k4，所以T54C.(2)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n的二项展开式中第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.(3)若(x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0的值为()A1 B0 C1 D2答案A解析令x0得，(1)5a0，即a01.(4)若n的展开式中所有二项式系数之和为128，则n_.答案7解析由题意，可知2n128，解得n7.题型 二项展开式 角度1求二项展开式中的特定项或系数1(1)(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80(2)(2019茂名模拟)已知acosxdx，则6展开式中，常数项为_答案(1)C(2)20解析(1)由题可得Tr1C(x2)5rrC2rx103r.令103r4，则r2，所以C2rC2240，故选C.(2)因为acosxdxsinx1，6展开式的通项为Tr1C(ax)62r.令62r0，解得r3，代入得到常数项为20.角度2已知二项展开式某项的系数求参数2(1)已知(2ax)(12x)5的展开式中，含x2项的系数为70，则实数a的值为()A1 B1 C2 D2(2)记n的展开式中第m项的系数为bm.若b32b4，则n_.答案(1)A(2)5解析(1)(12x)5展开式的通项公式为Tr1C(2x)r，所以(2ax)(12x)5的展开式中，含x2项的系数为2C(2)2aC(2)70，解得a1.(2)Tr1C(2x)nrr2nrCxn2r.b32b4，2n2C22n3C.CC，n5.角度3多项展开式3(1)(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60(2)(2019陕西黄陵中学模拟)5展开式中x2的系数为()A120 B80 C20 D45答案(1)C(2)A解析(1)(x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有C(x2x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC30，故选C.(2)5510.Tr1C()10rrCx5r.令5r2解得r3.T4Cx2120x2，所以5展开式中x2的系数为120.1求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求见举例说明1.2求解形如(ab)m(cd)n的展开式问题的思路(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)n(a22abb2)(cd)n，然后分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)m，(cd)n的通项公式，综合考虑3求形如(abc)n展开式中特定项的四步骤1(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20 C30 D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2若(1ax)7(a0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a_.答案3解析展开式的通项为Tr1C(ax)r，因为x5与x6系数相等，所以Ca5Ca6，解得a3.3(2018河南鹤壁月考)(xy)(x2yz)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A30 B120 C240 D420答案B解析(x2y)z6的展开式中含z2的项为C(x2y)4z2，(x2y)4的展开式中xy3项的系数为C23，x2y2项的系数为C22，(xy)(x2yz)6的展开式中x2y3z2的系数为CC23CC22480360120.故选B.题型 二项式系数的性质或各项系数的和1(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a1a2a3a4a5_.答案33解析令x1得(2)5a0a1a2a3a4a532.令x0得，1a0；所以a1a2a3a4a533.2(2018九江模拟)已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项解(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2CCC，解得n8(n1舍去)(2)8的展开式的通项Tr1C()8rr2rCx (r0,1，8)，要求有理项，则4必为整数，即r0,4,8，共3项，这3项分别是T1x4，T5x，T9.(3)设第r1项的系数为ar1最大，则ar12rC，则1，1，解得2r3.当r2时，a322C7，当r3时，a423C7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为结论探究1举例说明1条件不变，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|_.答案1024解析(13x)5各项系数之和为|a0|a1|a2|a3|a4|a5|.令x1得|a0|a1|a2|a3|a4|a5|451024.结论探究2举例说明1条件不变，求a0a2a4.解令x1得(2)5a0a1a2a3a4a5，令x1得45a0a1a2a3a4a5，两式相加得3210242(a0a2a4)，所以a0a2a4496.1赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立因此，可将a，b设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)(2)奇数项系数之和为a0a2a4.(3)偶数项系数之和为a1a3a5.3求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(ab)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值见举例说明2.思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案.1(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案3或1解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.2已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为_答案806415360x4解析由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6C(2x)558064.设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k，令得即解得k.kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4C27x415360x4.题型 二项式定理的应用1设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2017等于()Ai Bi C1i D1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2017(1x)20171i20171i1.2已知n为满足SaCCCC(a3)能被9整除的正数a的最小值，则n的展开式中，二项式系数最大的项为()A第6项 B第7项C第11项 D第6项和第7项答案B解析由于SaCCCCa227189a1(91)9a1C99C98C9Ca19(C98C97C)a2，a3，所以n11，从而11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大3计算1.056.(精确到0.01)解1.056(10.05)6160.05150.05210.30.03751.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略1整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见举例说明2.2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1x)n1nxx2.见举例说明3.1(2018银川模拟)C2C4C2n1C等于()A3n B23n C.1D.答案D解析C2C4C2n1C(C2C22C2nC)(12)n.28836被49除所得的余数是()A14 B0 C14 D35答案B解析由二项式定理展开得8836(71)836783C782C72C71672M8377(M是正整数)49M491249N(N是正整数)8836被49除所得的余数是0.3求0.9986的近似值(精确到0.001)解0.9986(10.002)6160.002150.002210.0120.000060.988.易错防范二项展开式中项的系数与二项式系数典例(2018四川仁寿一中模拟)在n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x3的系数为()A15 B45 C135 D405答案C解析由题意64，n6，Tr1Cx6rr3rCx，令63，r2,32C135.故选C.
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