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第一部分 专题二 第二讲 函数与方程及函数的应用A组1(文)函数f(x)log2x的一个零点落在区间( B )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析f(1)f(2)0，选B(理)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( D )A(1.4,2) B(1.1,4)C(1，) D(，2)解析令f(x)x32x1，则f(1)20，f()1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.3.已知函数f(x)()xcosx，则f(x)在0,2上的零点个数为( C )A1 B2C3 D4解析作出g(x)()x与h(x)cosx的图象，可以看出其在0,2上的交点个数为3.故选C4已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有( A )A10个 B9个 C8个 D1个解析在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图又lg 101，由图象知选A5汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( D )A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确6已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点的个数为( A )A2 B3 C4 D5解析当x2时，f(2x)2|2x|4x，函数f(x)g(x)(x2)24x3x25x5大于2的零点有一个因此函数yf(x)g(x)共有零点2个7已知函数f(x)()xlog3x，若x0是函数yf(x)的零点，且0x10(填“”、“”、“”、“”)解析方法一：f(x)()xlog3x在(0，)上为减函数，且0x1f(x0)方法二：如图知，f(x1)f(x0)8(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(x)f(x)，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为.解析函数图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的三个实根之和为.(理)(2015四川卷，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是24小时解析由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3eb19224.9有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k(1k4，且kR)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放在浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为ykf(x)，其中f(x)若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由解析(1)由题意知k(1)3，所以k1.(2)因为k4，所以y当0x4时，由44，解得4x8，所以0x4.当4x14时，由282x4，解得x12，所以44，所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用B组1已知函数f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)lnx1的零点依次为a，b，c，则( A )Aabc BcbaCcab Dbac解析由f(a)eaa0，得aea0；b是函数ylnx和yx图象交点的横坐标，画图(图略)可知0b1；由h(c)lnc10知ce，所以abc.2(2018湖北武昌1月调研)已知函数f(x)2axa3，若x0(1,1)，f(x0)0，则实数a的取值范围是( A )A(，3)(1，) B(，3)C(3,1) D(1，)解析函数f(x)2axa3，由x0(1,1)，f(x0)0，可得(3a3)(a3)0，解得a(，3)(1，)3利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y30x4000，则每吨的成本最低时的年产量为( B )A240 B200 C180 D160解析依题意得每吨的成本是30，则23010，当且仅当，即x200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B4(2017郑州质量预测)设函数f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( A )Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解析依题意，f(0)30，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0a1.g(1)30，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1bf(1)0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0.所以g(a)0f(b)故选A5(2017湖北宜昌模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00解析当x0,4时，设yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.当x4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或4 BaCa0时，f(x)没有零点当x0时，f (x)x24，令f (x)0得x2，所以f(x)在(0,2)上递减，在(2，)上递增，因此f(x)在x2处取得极小值f(2)a0，解得a.故选A7已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x0是函数f(x)ln x的零点，则x02.解析函数f(x)的定义域为(0，)，且易判断函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，所以x02.8定义域为R的偶函数f(x)满足对xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(|x|1)在(0，)上至多有三个零点，则a的取值范围是(，1)(1，).解析对于偶函数f(x)，f(x2)f(x)f(1)，令x1，则f(1)f(1)f(1)，因为f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0，所以f(x)f(x2)，故f(x)的图象如图所示，则问题等价于f(x)的图象与函数yloga(|x|1)的图象在(0，)上至多有三个交点，显然a1符合题意；若0a1，则由图可知，只需点(4，2)在函数yloga(|x|1)图象的上方，所以loga5a0恒成立，所以函数f(x)ax2xa必有局部对称点(2)f(x)2xb在区间1,2内有局部对称点，所以方程2x2x2b0在区间1,2上有解，于是2b2x2x，设t2x，t4，所以2bt，其中2t，所以b1.(3)因为f(x)4xm2x1m23，由f(x)f(x)，所以4xm2x1m23(4xm2x1m23)，于是4x4x2m(2x2x)2(m23)0(*)在R上有解，令t2x2x(t2)，则4x4xt22，所以方程(*)变为t22mt2m280在区间2，)内有解，需满足条件：即化简得1m2.
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