D71向量及运算点积叉积.ppt

第七章 空间解析几何 一 空间直角坐标系 二 向量及其应用 数量积 向量积 一 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点O 坐标面 卦限 八个 1 空间直角坐标系的基本概念 zOx面 在直角坐标系下 向径 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 表示法 向量的模 向量的大小 二 向量及其应用 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 自由向量 与起点无关的向量 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 或a 一 向量的概念 零向量的方向是任意的 规定 零向量与任何向量平行 记作 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k 个向量共面 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 2 向量的减法 三角不等式 可见 3 向量与数的乘法 是一个数 规定 总之 运算律 结合律 分配律 因此 设 为唯一实数 注 为非零向量 则 三 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分向量 的坐标为 记 利用坐标作向量的线性运算 则 平行向量对应坐标成比例 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦的性质 3 向量在轴上的投影 例如 在坐标轴上的投影分别为 即 投影的性质 为实数 定理1 的充要条件是 证 那么由 如果 设A x1 y1 z1 和B x2 y2 z3 为两点 均非原点O 则 x1x2 y1y2 z1z2 0 为邻边所确定的 平行四边形 所以对角向量 和 长度相同 即 而 于是有 x1x2 y1y2 z1z2 0 充分性倒推即可 为矩形 四 两向量的数量积 1 定义 设向量 的夹角为 称 数量积 点积 故 2 性质 为两个非零向量 则有 3 运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 事实上 当 时 显然成立 4 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时 由于 两向量的夹角公式 得 于是方向余弦为 设 显然 x y z 五 两向量的向量积 二 三阶行列式 1 定义 定义 向量 方向 叉积 记作 且符合右手规则 模 向量积 思考 右图三角形面积 S 两个向量的向量积 2 性质 为非零向量 则 4 分配律 5 结合律 6 3 向量积的坐标表示式 设 则 向量积的行列式计算法 例 设A 1 1 3 B 3 1 5 C 2 1 7 求 ABC的面积 S ABC 解 六 向量的混合积 1 定义 已知三向量 称数量 混合积 几何意义 为棱作平行六面体 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 2 混合积的坐标表示 设 3 性质 1 三个非零向量 共面的充要条件是 2 轮换对称性 可用三阶行列式推出 作业P2663 11 14 17 21