D52牛莱公式换元积分.ppt

一方面 由微分 中值定理 我们有 另一方面 由积分中值定理 我们又有 我们思考一个问题 有无可能 也就是说 恰好有 一个实例 在变速直线运动中 已知位置函数 与速度函数 之间有关系 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 一 积分上限的函数及其导数 则变上限函数 证 则有 定理1 若 在 与 其中 之间 说明 1 定理1证明了连续函数的原函数是存在的 2 变限积分求导 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 例 求 解 原式 例2 确定常数a b c的值 使 解 原式 c 0 故 又由 得 例3 证明 在 内为单调递增函数 证 只要证 例4 求函数 的极值点 解 函数的定义域是 有唯一驻点 且 故在 处 取得极小值 二 牛顿 莱布尼兹公式 牛顿 莱布尼兹公式 证 根据定理1 故 因此 得 定理2 函数 则 例5 计算 解 例6 计算正弦曲线 的面积 解 例7 汽车以每小时36km的速度行驶 速停车 解 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 其速度为 当汽车停住时 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离 则有 2 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 莱布尼兹公式 1 变限积分求导公式 内容小结 补充例题 解 1 设 求 定积分为常数 设 则 故应用积分法定此常数 2 求 解 的递推公式 n为正整数 由于 因此 所以 其中 二 定积分的分部积分法 第三节 一 定积分的换元法 定积分的换元法和分部积分法 一 定积分的换元法 定理1 设函数 单值函数 满足 1 2 在 上 证 所证等式两边被积函数都连续 因此积分都存在 且它们的原函数也存在 是 的原函数 因此有 则 则 说明 1 当 即区间换为 定理1仍成立 2 必需注意换元必换限 原函数中的变量不必代回 3 换元公式也可反过来使用 即 或配元 配元不换限 例1 计算 解 令 则 原式 且 例2 计算 解 令 则 原式 且 例3 证 1 若 2 若 偶倍奇零 例4 利用例3的结果计算 解 1 原式 2 是奇函数 故原式 0 例5 解 1 原式 2 原式 例6 解 1 令 原式 2 原式 例7 解 原式