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单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.若平面平面,且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直答案C解析,a,b,ab,当=a时,b;当=b时,a,其他情形则未必有b或a,所以选项A,B,D都错误,故选C.2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2+1B.2+3C.32+1D.32+3答案A解析V=1331212+1221=2+1,故选A.3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.310答案C解析由计算可得O为B1C与BC1的交点.设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=52,在RtAOM中,由勾股定理得R=132.4.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈,下底为5.4丈,高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033答案B解析根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为20+542385550=7803300(立方尺),一个秋天工期所需人数为7803300300=26011,故选B.5.在空间四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案B解析作AEBD,交BD于E,平面ABD平面BCD,AE平面BCD,BC平面BCD,AEBC.而DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AEAD=A,BC平面ABD.而AB平面ABD,BCAB,即ABC为直角三角形.故选B.二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)6.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为.答案5解析因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,满足侧面PAD底面ABCD,PAD为等腰直角三角形,且高为2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为1242+22=5.7.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD的形状一定是.答案菱形解析因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.8.已知A,B,C,D是球面上不共面的四点,AB=AC=3,BD=CD=2,BC=6,平面ABC平面BCD,则此球的体积为.答案823解析如图所示,设球心坐标为O,连接OD,交BC于点E,连接AE,由题意可知OE2+AE2=OA2.设球的半径R=OD=OA=x,由题意,得22-x2+622=x2,解得x=2,则此球的体积为V=43R3=823.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明BC平面EFG.(1)解如图:(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-1312222=2843(cm3).(3)证明在长方体ABCD-ABCD中,连接AD,则ADBC.因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG.从而EGBC.又BC平面EFG,所以BC平面EFG.10.(15分)(2018河南商丘二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,AC=AB=AA1=2,AA1B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为AA1B1=60,连接AB1,所以AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1,且AE=3.又ABA1B1,所以AEAB.又侧面ABB1A1底面ABC,且侧面ABB1A1底面ABC=AB,又AE侧面ABB1A1,所以AE底面ABC,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=SABCAE=12ABACAE=12223=23.(2)在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.理由如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,交点为P.连接CP.因为A1B1AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.因为E为棱A1B1的中点,AB=A1B1,所以A1EAB=12,所以PE=EB.又F为棱BC的中点,所以EF为BCP的中位线,所以EFCP.又EF平面AEF,CP平面AEF,所以CP平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.此时,PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.11.(15分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC,且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.(1)证明因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,平面VAB平面ABC=AB,OC平面ABC,所以OC平面VAB,所以平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.
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