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第二章 第3 节 函数的奇偶性与周期性1(导学号14577113)(2018长春市二模)下列函数中，既是奇函数又在(0，)单调递增的函数是()AyexexByln(|x|1)Cy Dyx解析：D选项A、B中的函数为偶函数；选项C中的函数虽然是奇函数，但是在(0，)上不是单调递增函数故选D.2(导学号14577114)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：C因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(x)f(x)，g(x)g(x)，于是f(x)g(x)f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错3(导学号14577115)(2018保定市一模)已知函数f(x)设g(x)，则g(x)是()A奇函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增B奇函数，在(，0)上递减，在(0，)上递减C偶函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增D偶函数，在(，0)上递减，在(0，)上递减解析：B根据题意，g(x)其定义域关于原点对称设x0，则x0，g(x)g(x)；设x0，则x0，g(x)g(x)，故g(x)为奇函数又g(x)x2在区间(0，)上递减，则g(x)在(，0)上也递减故选B.4(导学号14577116)(理科)(2018青岛市模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2 B1C1 D2解析：Af(x1)为偶函数，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022，故选A.4(导学号14577117)(文科)已知f(x)lg 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)解析：Af(x)lg 是奇函数，f(x)f(x)lg lg 0，解得a1，即f(x)lg ，由f(x)lg 0，得01，解得1xg(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)8(2018郴州市一模)已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.上述命题中所有正确命题的序号为_.解析：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，可得f(2)f(2)在f(x4)f(x)f(2)中令x2得f(2)f(2)f(2)，f(2)f(2)0，f(x4)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数又当x0,2时，yf(x)单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f(x)的简图，如图所示从图中可以得出：x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10单调递减；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.答案：9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x).x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).能力提升组11函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)等于()A13B2 C.D.解析：Df(x)f(x2)13，f(x2)，则f(x)，故f(x)f(x2)13，即f(x)f(x2)13，f(x2)f(x2)，故函数f(x)的周期为4，f(99)f(3).12(2018潍坊市一模)设函数yf(x)(xR)为偶函数，且xR，满足ff，当x2,3时，f(x)x，则当x2,0时，f(x)()A|x4| B|2x|C2|x1| D3|x1|解析：DxR，满足ff，xR，满足ff，即f(x)f(x2)若x0,1时，则x22,3，f(x)f(x2)x2，x0,1 .若x1,0，则x0,1 .函数yf(x)(xR)为偶函数，f(x)x2f(x)，即f(x)x2，x1,0 .若x2，1，则x20,1，则f(x)f(x2)x22x4，x2，1 .即f(x)，故选D.13若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f(ln t)f2f(1)时，那么t的取值范围是_.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以ff(ln t)f(ln t)f(|ln t|)则有f(ln t)f2f(1)2f(ln t)2f(1)f(|ln t|)f(1)|ln t|1te.答案：14设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ)
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