资源描述
山东省聊城市2019届高三一模数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域为再求得解.【详解】由得即函数的定义域为 故选：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查集合的交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.设，则复数的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求复数的虚部得解.【详解】z2i1-i+2+i2i1+i1-i1+i+2+i=1+2i，复数的虚部为2.故选：A【点睛】本题主要考查复数的加法和除法运算，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量a=1,1,2a+b=4,3，c=x,2，若b/c，则x的值为（）A. 4B. 4C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出b=2,1，再利用b/c求出x的值.【详解】b=2a+b-2a=2,1;b/c，x+4=0,x=-4.故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.记Sn为等比数列an的前n项和，若2S3S4+S5，a11，则a6（）A. 1B. 32C. 64D. 32【答案】D【解析】【分析】根据S3S4+S5和a11得到q2+q-20，求出q的值，再求a6的值.【详解】由题得公比q1，2S3S4+S5，a11， 21-q31-q=1-q41-q+1-q51-q,化为：q2+q-20，解得q=-2.则a6（2）532.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,AQI不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. AQI最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是92+952=93.5,C错.从图中可以4日到9日AQI越来越小,D对.所以选C.6.设函数f（x）sinx-cosx，若对于任意的xR，都有f（2-x）=f（x），则sin（2-3)（）A. 12B. 12C. 32D. -32【答案】B【解析】【分析】先化简已知得fx=2sinx-4，由f2-x=fx,得x=2是函数f(x)的对称轴，得2=32+2k,kZ.再求sin2-3的值.【详解】fx=sinx-cosx=2sinx-4,由f2-x=fx,得x=2是函数f(x)的对称轴，得2=32+2k,kZ.sin2-3=sin32+2k-3=-cos3=-12.故选：B【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A. 33B. 55C. 306D. 66【答案】D【解析】【分析】取BC的中点H，连接EH,AH,ED，则异面直线AE与BC所成角即为EAD，再利用余弦定理求cosEAD得解.【详解】取BC的中点H，连接EH,AH,EHA=90,设AB=2,则BH=HE=1,AH=5,所以AE=6,连接ED,ED=6,因为BC/AD,所以异面直线AE与BC所成角即为EAD,在EAD中cosEAD=6+4-6226=66,故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.设函数f（x）=1ex-1+a，若f（x）为奇函数，则不等式f(x)1的解集为（）A. （0，1）B. （-，1n3）C. （0，ln3）D. （0，2）【答案】C【解析】【分析】由f（x）为奇函数得到a=12，再分析得到函数f（x）1ex-1+12在0,+上为减函数且fx0，fx在（，0）上减函数且f（x）0，又由f（ln3）1eln3-1+12=1,则f（x）1得到f（x）f（ln3），则有0xln3，即不等式的解集为0，ln3.【详解】根据题意，函数fx=1ex-1+a，其定义域为xx0，若fx为奇函数，则f-x+fx=0,即1e-x-1+a+1ex-1+a=-1+2a=0,解可得a=12,则fx=1ex-1+12.又由yex1在（0，+）为增函数，其y0，则f（x）1ex-1+12在0,+上为减函数且fx0.则fx在（，0）上减函数且f（x）0，又由f（ln3）1eln3-1+12=1,则f（x）1f（x）f（ln3），则有0xln3，即不等式的解集为0，ln3.故选： C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知圆O的半径为1，在圆O内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于3的概率为（）A. 12B. 34C. 1D. 14【答案】D【解析】【分析】先分析得到M点落在以为O圆心，以12为半径的圆内，再利用几何概型求解.【详解】如果过点M的所有弦的长度都大于3，则OM1-322=12, 则M点落在以为O圆心，以12为半径的圆内，由几何概型概率可得，过点M的所有弦的长度都大于3的概率为12212=14.故选：D【点睛】本题主要考查圆和几何概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.数学名著九章算术中有如下问题：“今有刍甍（mng），下广三丈，袤（mo）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）.【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若PBF周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（）A. 102B. 105C. 10D. 2【答案】A【解析】【分析】先通过分析得到当且仅当B，P，F共线，PBF周长取得最小值，且为2a+2b2+a2, 可得6a2a+2b2+a2,解方程即得解.【详解】由题意可得B（0，b），F（c，0），设F（c，0），由双曲线的定义可得PFPF2a，PFPF+2a， BFBFb2+a2,则BPF的周长为PB+PF+BF|PB+PF+2a+BF2BF+2a，当且仅当B，P，F共线，取得最小值，且为2a+2b2+a2,由题意可得6a2a+2b2+c2,即4a2b2+c22c2a2，即5a22c2，则e=ca=102,故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12.已知函数fx=xx-1,x0lnxx,x0,若x关于的方程f（x）x+a无实根，则实数a的取值范围为（）A. （-，0）（1e，1）B. （-1，0）C. (0，1e)D. （0，1）【答案】B【解析】【分析】关于x的方程f（x）x+a无实根等价于函数yf（x）的图象与直线yx+a无交点，设直线yx+a与fx=lnxxx0切与点P（x0，y0），求出切线方程为：yx1，由图知函数y=fx的图象与直线yx+a 无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为-1a0,所以关于x的方程f（x）x+a无实根等价于函数yf（x）的图象与直线yx+a无交点，设直线yx+a与fx=lnxxx0切与点P（x0，y0），由fx=1-lnxx2,由已知有：1-lnx0x02=1解得x01，则P（1，0），则切线方程为：yx1，由图知：函数y=fx的图象与直线yx+a 无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为-1a0,故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.若x,y满足约束条件xy+40x20x+y20，则zx+2y的最大值为_【答案】14【解析】【分析】画出约束条件x-y+40x-20x+y-20表示的平面区域如图所示，再利用数形结合分析得解.【详解】画出约束条件x-y+40x-20x+y-20表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数zx+2y过点A时取得最大值，由x-y+4=0x=2,解得A2,6,代入计算z2+2614，所以zx+2y的最大值为14.故答案为：14【点睛】本题主要考查利用线性规划解答最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从6名获得一等奖的同学中选出3名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_（用数字作答）【答案】96【解析】【分析】第一步：先选3人，甲、乙至少有一人参加，有C63C4316，第二步，将3人排序，有A336，再利用乘法分步原理即得解.【详解】第一步：先选3人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有C63C4320416，第二步，将3人排序，有A336，故不同发言顺序的种数为16696.故答案为：96【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.记数列an的前n项和为Sn，若Sn12n2+32n，则数列1anan+1的前14项的和等于_【答案】716.【解析】【分析】先利用项和公式求出ann+1,再利用裂项相消法求和得解.【详解】Sn12n2+32n，可得a1S12， n2时，anSnSn-112n2+32n-12（n1）2-32（n1）n+1，上式对n1也成立，所以ann+1,1anan+1=1n+1n+2=1n+1-1n+2，则前14项的和为12-13+13-14+115-116 =12-116=716.故答案为：716【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.抛物线C：y24x的焦点为F，动P点在抛物线C上，点A1,0，当PFPA取得最小值时，直线AP的方程为_【答案】x+y+10或xy+10【解析】【分析】设P点的坐标为4t2，4t，求出PA216t4+24t2+1，再计算得到PFPA2=1-1616t2+1t2+24，再利用基本不等式求出最小值及此时直线的方程得解.【详解】设P点的坐标为4t2，4t，F1，0，A1，0 PF2（4t21）2+16t216t4+8t2+1PA2（4t2+1）2+16t216t4+24t2+1 PFPA2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1-16t216t4+24t2+1=1-1616t2+1t2+24 1-16216t21t2+24=1-1640=35,当且仅当16t21t2，即t12时取等号，此时点P坐标为1,2或1,-2，此时直线AP的方程为y（x+1），即x+y+10或xy+10，故答案为：x+y+10或xy+10【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质和基本不等式，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每一个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在梯形ABCD中，AB/CD，AB3BD，cosBAD223（1）求cosABD；（2）若AD4,CD3,求BC【答案】（1）13； （2）3.【解析】【分析】（1）设BDx，则AB=3x，由余弦定理可得223=9x2+AD2-x223xAD，解可得AD=22x.由余弦定理可得cosBAD的值得解；（2）由AD=42=22x得x=2，由cosCDBcosABD13，在BCD中由余弦定理可得BC的值.【详解】（1）设BDx，则AB=3x，cosBAD=223.由余弦定理可得223=9x2+AD2-x223xAD解可得，AD=22x.由余弦定理可得，cosBAD=AB2+BD2-AD22ABBD=9x2+x2-8x223xx=13；2AD=42=22x, x=2cosCDBcosABD13，CD3，BD2，在BCD中，由余弦定理可得，BC2BD2+DC22DBDCcosBDC4+9223139BC3【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC,AC2，AA1AB4，BAC120， ACC160（1）证明：AC1BC；（2）求直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值【答案】（1）见解析； （2）15.【解析】【分析】(1)先证明AC1平面ABC，再证明AC1BC；（2）以A为原点，AB为y轴，AC1为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为15.【详解】(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1 平面ABC，AC2，AA1AB4，BAC120，ACC160AC14+16-224cos6023，AC12+AC2CC12，AC1AC，平面ACC1A1平面ABCAC，AC1平面ABC AC1BC2以A为原点，AB为y轴，AC1为轴，建立空间直角坐标系，C3,-1,0,B1-3,5,23,B0,4,0,A0,0,0CB1=-23,6,23,AB=0,4,0,AB1=-3,5,23,设平面ABB1A1的法向量n（x，y，z），则nAB=4y=0nAB1=-3x+5y+23z=0，取x=2,得n=2,0,1，设直线CB1与平面ABB1A1所成角为，则sin=CB1nCB1n=23605=15直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为15.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理计算能力.19.已知平行四边形OMAN的三个顶点M，A，N都在椭圆C：x22+y21,O为坐标原点（1）当点A的坐标为1,22时，求直线MN的方程；（2）证明：平行四边形OMAN的面积为定值【答案】（1）x+2y10； （2）62.【解析】【分析】(1)先求出MN的中点坐标为12,24，再利用点差法求得kMN=y1-y2x1-x2=-22，再写出直线MN的方程得解；（2）设直线MN的方程为：ykx+m与椭圆C相交于M、N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），先利用弦长公式求出MN=1+k262m，再求出点O到直线MN的距离为d=m1+k2，所以SOMAN212MNd =1+k262mm1+k2=62.【详解】（1）点A的坐标为1,22，OA的中点坐标为12,24，四边形OMAN为平行四边形，MN的中点坐标为12,24，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x21，y1+y222，x122+y12=1x222+y22=1,两式相减可得12（x1+x2）x1-x2+（y1+y2）y1-y20，即12（x1x2）+22y1-y2=0，kMN=y1-y2x1-x2=-22，直线MN的方程为y-24-22x-12，即x+2y-10，证明（2）：设直线MN的方程为：ykx+m与椭圆C相交于M、N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），将其代入x122+y12=1得2k2+1x2+4kmx+2（m2-1）0，16k2m2-82k2+1m210即2k2+1m2，又x1+x2=-4km2k2+1, x1x22m2-12k2+1，y1+y2k（x1+x2）+2m -4km2k2+1 +2m2m2k2+1，四边形OMPAN为平行四边形OA=OM+ON=x1+x2，y1+y2-4km2k2+1,2m2k2+1点A坐标为-4km2k2+1,2m2k2+1点A在椭圆C上，8k2m22k2+12+4m22k2+1=1，整理得4m22k2+1MN=1+k2x1+x22-4x1x2 =1+k2222k2+1-m22k2+1=1+k2223m24m2=1+k262m点O到直线MN的距离为d=m1+k2，SOMAN212MNd =1+k262mm1+k2=62【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算和面积定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在100，400）的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）【答案】（1）48125； （2）该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元；（3）公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利【解析】【分析】（1）样本中包裹件数在100，400）内的天数为48，频率为4860=45，可估计概率为45，未来3天中包裹件数在100，400）间的天数XB3,45，故所求概率为P=C3245215=48125；（2）先列出样本中快递费用及包裹件数表，再利用平均数的公式求快递费的平均值；（3）先求出若不裁员，公司平均每日利润的期望值为1000（元），再求出若裁减1人，公司平均每日利润的期望值为975（元），因9751000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【详解】（1）样本中包裹件数在100，400）内的天数为48，频率为4860=45，可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在100，400）间的天数X服从二项分布，即XB3,45，故所求概率为P=C3245215=48125；（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为x=1100（1043+1530+2015+258+304）=15（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加1513=5（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2605-31001000（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2355-2100975（元）因9751000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率的计算，考查平均值和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数f（x）alnx+x2+（a+2）x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a0，若不相等的两个正数x1，x2满足f（x1）=f（x2），证明：fx1+x220【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】(1)对a分a0和a0讨论，利用导数求函数f（x）的单调性；（2）由f（x1）f（x2）得x2+x1+a+2= a(lnx1lnx2)x2x1，再求出f(x1+x22)=ax2x1 (2(x2x11)x2x1+1lnx2x1)，不妨设x2x10，则x2x11，转化为证明2(x2x11)x2x1+1lnx2x10，令x2x1=t1，构造函数g（t）=2t2t+1lnt24t+1lnt，再证明g(t)g（1）即得证.【详解】（1）f（x）ax+2x+（a+2） 2x2+(a+2)x+ax= (2x+a)(x+1)x，x0，当a0时，f（x）0，f(x)在（0，+）单调递增，当a0时，当0xa2时，f(x)0，当xa2时，f(x)0，f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+)上单调递增，(2)f（x1）f（x2），alnx1+x12+（a+2）x1alnx2+x22+（a+2）x2，a（lnx1lnx2）x22x12+(a+2)(x2x1) =(x2x1)(x2+x1+a+2)x2+x1+a+2= a(lnx1lnx2)x2x1，f(x)ax+2x+(a+2)，f(x1+x22)=2ax1+x2+x2+x1+a+2 =2ax1+x2+a(lnx1lnx2)x2x1=a(2x1+x2lnx2x1x2x1)=ax2x1 (2(x2x1)x2+x1lnx2x1)=ax2x1 (2(x2x11)x2x1+1lnx2x1)，不妨设x2x10，则x2x11，所以只要证2(x2x11)x2x1+1lnx2x10，令x2x1=t1，g（t）=2t2t+1lnt24t+1lntt，g（t）=4(t+1)21t=4t(t+1)2t(t+1)2=(t1)2t(t+1)20，g（t）在（1，+）上单调递减，g(t)g（1）=221+1ln10，2(x2x11)x2x1+1lnx2x10，t1，t2同号PM+PN|t1+t2|t1+t2| 22sincos24+sin2=2214sin+3sin422214sin3sin4=463，（当且仅当sin33时取等），PM+PN的最大值为：463 【点睛】本题主要考查直线的参数方程，考查普通方程和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数f（x）=x-a+2x+11当a1时，求不等式f（x）4 的解集；(2)设不等式f（x）2x+4的解集为M，若0，3M，求a的取值范围【答案】（1）53，1； （2）1，2.【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若0，3M，则问题转化为x-a+2x+12x+4|在0，3恒成立，即|x-a|2，故-2x-a2，故-2-x-a2-x在0，3恒成立，即x-2ax+2在0，3恒成立，所以1a2.【详解】（1）a1时，f（x）|x1+2x+1|，若f（x）4，x1时，x-1+2x+24，解得：x1，故x1，-1x1时，解得：x1，故1x1，x1时，1-x+2x+24，解得：x-53，故-53x-1，综上，不等式的解集是-53，1；（2）若0，3M，则问题转化为x-a+2x+12x+4|在0，3恒成立，即|x-a|2x+4-2x-22，故-2x-a2，故-2-x-a2-x在0，3恒成立，即在恒成立，故，即的范围是【点睛】本题主要考查利用零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
展开阅读全文