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8.4直线、平面垂直的判定与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面垂直的判定与性质1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2017天津文,17直线与平面垂直的判定与性质的应用异面直线的夹角、线面角2018天津文,17平面与平面垂直的性质的应用异面直线的夹角、线面角2013天津文,17直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定与性质的应用线面平行的判定、线面角分析解读从天津高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化,属中档题.破考点【考点集训】考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2013北京文,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案B2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA=AC.过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB平面PBC;(2)若PC平面AEFG,求PFPC的值;(3)直线AE是否能与平面PCD平行?请说明你的理由.解析(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABC.因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC,因为ABPA=A,所以BC平面PAB.因为BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC.(2)连接AF.因为PC平面AEFG,所以PCAF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点,所以PFPC=12.(3)直线AE与平面PCD不可能平行.理由如下:假设AE平面PCD.因为ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD,所以AB平面PCD.而AE,AB平面PAB,且ABAE=A,所以平面PAB平面PCD,这显然与平面PAB与平面PCD交于点P相矛盾,所以假设不成立,即直线AE与平面PCD不可能平行.思路分析(1)根据面面垂直的判定定理易证.(2)根据线面垂直的性质及等腰三角形的性质可求PFPC.(3)反证法:假设AE平面PCD,易证AB平面PCD,进而推出平面PAB平面PCD,与已知相矛盾,从而证得结论.解后反思本题考查了空间中的垂直与平行关系,熟练掌握相关定理是解题的关键.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.四边形ABCD是直角梯形,ABDC,ADDC,AB=5,AD=4,DC=3.(1)求证:AB平面PDC;(2)当平面PBC平面ABCD时,求四棱锥P-ABCD的体积;(3)请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC垂直,并给出证明.解析(1)证明:因为ABDC,且AB平面PDC,DC平面PDC,所以AB平面PDC.(2)取BC的中点F,连接PF.因为PB=PC,所以PFBC,因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,所以PF平面ABCD.在直角梯形ABCD中,过C作CHAB于点H.因为ABDC,且ADDC,AD=4,DC=3,AB=5,所以CHAD,所以四边形ADCH为平行四边形,所以AD=CH,DC=AH,所以BC=BH2+HC2=25,且S梯形ABCD=12(3+5)4=16.又因为PB=3,BF=5,所以PF=2.所以VP-ABCD=13S梯形ABCDPF=13162=323.(3)PABC.证明如下:连接AF,AC.在直角梯形ABCD中,因为ABDC,且ADDC,AD=4,CD=3,所以AC=5.因为AB=5,点F为BC的中点,所以AFBC.又因为BCPF,AFPF=F,所以BC平面PAF.又因为PA平面PAF,所以PABC.炼技法【方法集训】方法1证明线面垂直的方法1.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案C2.如图,在三棱锥D-ABC中,已知BCD是正三角形,AB平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.(1)求三棱锥D-ABC的体积;(2)求证:AC平面DEF;(3)若M为DB的中点,N在棱AC上,且CN=38CA,求证:MN平面DEF.解析(1)因为BCD是正三角形,且AB=BC=a,所以SBCD=34a2.又AB平面BCD,所以VD-ABC=VA-BCD=13SBCDAB=1334a2a=312a3.(2)证明:在底面ABC中,取AC的中点H,连接BH,因为AB=BC,所以BHAC.因为AF=3FC,所以F为CH的中点.又因为E为BC的中点,所以EFBH,则EFAC,因为AB平面BCD,AB平面ABC,所以平面ABC平面BCD.因为BCD是正三角形,E为BC的中点.所以DEBC,则DE平面ABC.因为AC平面ABC,所以DEAC.又DEEF=E,且DE,EF平面DEF,所以AC平面DEF.(3)证明:当CN=38CA时,连接CM交DE于O,连接OF.因为E为BC的中点,M为DB的中点,所以O为BCD的重心,则CO=23CM.因为AF=3FC,CN=38CA.所以CF=23CN,所以COCM=CFCN=23,所以MNOF.又OF平面DEF,MN平面DEF,所以MN平面DEF.思路分析(1)由VD-ABC=VA-BCD求解即可;(2)在底面ABC中,取AC的中点H,连接BH,由题意证明EFAC,利用面面垂直的性质定理证明DE平面ABC,则可得DEAC,即可证得结论;(3)连接CM,OF,设CMDE=O,易证CO=23CM,CF=23CN,则MNOF,从而证得结论.方法点睛本题主要考查空间几何体的体积,直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质以及直线与平面平行的判定,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.方法2证明面面垂直的方法3.(2016北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC平面ABCD,DC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,AB平面ABCD,所以PCAB.(7分)又ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.(10分)理由如下:如图,取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,EF平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)思路分析(1)证出PCDC,从而证得DC平面PAC.(2)先证ABAC,PCAB,从而证出AB平面PAC,进而由面面垂直的判定定理可证得结论.(3)此问为探究性问题,求解时可构造平面CEF,使得PA平行于平面CEF内的一条直线,由于点E为AB的中点,所以可取PB的中点,构造中位线.4.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB平面FAC;(2)求三棱锥P-EAD的体积;(3)求证:平面EAD平面FAC.解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF,在PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OFPB,又因为OF平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC.(2)解法一:因为PA平面ABCD,AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为ABAD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以AD平面PAB,即AD为三棱锥D-PAE的高,在RtPAB中,PA=AB=2,E为PB的中点,所以SPAE=1,又底面ABCD为正方形,所以AD=AB=2,所以VP-EAD=VD-PAE=13SPAEAD=23.解法二:因为PA平面ABCD,所以PA为四棱锥P-ABCD的高.因为PA=AB=2,底面ABCD是正方形,所以VP-ABD=13SABDPA=1312222=43,因为E为PB的中点,所以SPAE=SABE,所以VD-PAE=VD-ABE=12VD-PAB,所以VP-EAD=12VP-ABD=23.(3)证明:因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,AE,AD平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以OF平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.方法3翻折问题的处理方法5.(2015浙江,8,5分)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD翻折成ACD,所成二面角A-CD-B的平面角为,则()A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB答案B6.如图所示,已知直角ABC,其中ABC=90,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将ADE翻折,使得A与平面ABC外一点P重合,得到如图所示的几何体.(1)证明:平面PBD平面BCED;(2)记平面PDE与平面PBC的交线为l,探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.解析(1)证明:D,E分别为边AB,AC的中点,DEBC,ABC=90,ABBC,BDDE,PDDE,PDBD=D,PD,BD平面PBD,DE平面PBD,DE平面BCED,平面PBD平面BCED.(2)平行.证明如下:DEBC,DE平面PDE,BC平面PDE,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PDE平面PBC=l,lBC.过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2018天津文,17,13分)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解析本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.(1)证明:由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=AD2+AM2=13.因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=AD2+AN2=13.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=12MNDM=1326.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)连接CM.因为ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMAB,CM=3.又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=4.在RtCMD中,sinCDM=CMCD=34.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.2.(2017天津文,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解析本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查学生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.(1)如图,由ADBC,知DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由题意得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明:因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC,又PDPB,BCPB=B,BC,PB平面PBC,所以PD平面PBC.(3)如图,过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,DF=CD2+CF2=25,在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.方法点拨1.求异面直线所成角的步骤:(1)作:通过作平行线得到相交直线;(2)证:证明所作角为异面直线所成的角(或其补角);(3)求:解三角形,求出所作的角.如果求得的角是锐角或直角,则它就是所求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角为所求的角.2.求直线与平面所成角的方法:(1)定义法:关键是找出斜线在平面内的射影;(2)公式法:sin=hl(其中为直线与平面所成角,h为斜线上一点到平面的距离,l为该点到斜足的距离).3.(2013天津文,17,13分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(1)证明:EF平面A1CD;(2)证明:平面A1CD平面A1ABB1;(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.解析(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,且AC=A1C1,连接ED,在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=12AC且DEAC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1FDE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EFDA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以EF平面A1CD.(2)证明:由于底面ABC是正三角形,D是AB的中点,故CDAB,又由于侧棱A1A底面ABC,CD平面ABC,所以AA1CD,又A1AAB=A,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内,过点B作BGA1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG平面A1CD.由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a,可得A1D=5a2,由A1ADBGD,易得BG=5a5.在RtBGC中,sinBCG=BGBC=55.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2018课标文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解析(1)证明:因为AP=PC=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC且OBAC=O知OP平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.由(1)可得OPCH,又OMOP=O,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinOCMOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.解题关键认真分析三棱锥各侧面和底面三角形的特殊性,利用线面垂直的判定方法及等积法是解题的关键.2.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.方法总结证明面面垂直的方法:1.面面垂直的定义;2.面面垂直的判定定理(a,a).易错警示ab,a/b.3.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.方法总结立体几何中证明线线垂直的一般思路:(1)利用两平行直线垂直于同一条直线(ab,acbc);(2)线面垂直的性质(a,bab).4.(2014湖北,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.证明(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.又FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,PN,MN平面PQMN,所以直线AC1平面PQMN.评析本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质,考查学生的空间想象能力.5.(2014重庆,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=3,M为BC上一点,且BM=12.(1)证明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:连接OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AOOB.因为BAD=3,所以OB=ABsinOAB=2sin6=1,又因为BM=12,且OBM=3,所以在OBM中,OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=12+122-2112cos3=34.所以OB2=OM2+BM2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC平面POM.(2)由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos6=3.设PO=a,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+34.连接AM,在ABM中,AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=22+122-2212cos23=214.由于MPAP,故APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+34=214,得a=32或a=-32(舍去),即PO=32.所以S四边形ABMO=SAOB+SOMB=12AOOB+12BMOM=1231+121232=538.所以VP-ABMO=13S四边形ABMOPO=1353832=516.评析本题考查线面垂直的证明以及空间几何体体积的计算,在证明直线与平面垂直时,打破以往单纯的几何逻辑推理,将余弦定理、勾股定理巧妙融合,体现了知识的交汇性.C组教师专用题组(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.解析(1)证明:在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为DOPO=O,DO,PO平面PDO,所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以ABC面积的最大值为1221=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为1311=13.(3)解法一:在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以PB=12+12=2.同理,PC=2,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在的直线旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB的中点.从而OC=OE+EC=22+62=2+62,亦即CE+OE的最小值为2+62.解法二:在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以OPB=45,PB=12+12=2.同理,PC=2.所以PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在的直线旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.所以,在OCP中,由余弦定理,得OC2=1+2-212cos(45+60)=1+2-222212-2232=2+3.从而OC=2+3=2+62.所以CE+OE的最小值为2+62.评析本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,以及数形结合思想、转化与化归思想.【三年模拟】解答题(共90分)1.(2019届天津七校联考期中,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,ACB=90,侧面PAB为等边三角形,侧棱PC=22.(1)求证:PCAB;(2)求证:平面PAB平面ABC;(3)求二面角B-AP-C的余弦值.解析(1)证明:设AB的中点为D,连接PD,CD,因为AP=BP,所以PDAB,又AC=BC,所以CDAB.因为PDCD=D,所以AB平面PCD,因为PC平面PCD,所以PCAB.(2)证明:因为ACB=90,AC=BC=2,所以AD=BD=CD=2,AB=22,又PAB为正三角形,且PDAB,所以PD=6.因为PC=22,所以PC2=CD2+PD2,所以CDP=90,由(1)知CDP是二面角P-AB-C的平面角,所以平面PAB平面ABC.(3)由(2)知CD平面PAB,过D作DEPA于E,连接CE,则CEPA,所以DEC是二面角B-AP-C的平面角,易求得DE=62,在RtCDE中,因为CD=2,DE=62,所以EC=142,所以cosDEC=217,即二面角B-AP-C的余弦值为217.2.(2019届天津耀华中学月考,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,E为AD的中点,M是棱PC的中点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)求证:PE平面ABCD;(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值;(3)求直线BM与CD所成角的余弦值.解析(1)证明:PA=PD,E为AD的中点,PEAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PE平面PAD,PE平面ABCD.(2)连接EC,取EC的中点H,连接MH,HB.M是PC的中点,H是EC的中点,MHPE.由(1)知PE平面ABCD,MH平面ABCD,BH是BM在平面ABCD内的射影,MBH即为BM与平面ABCD所成的角.连接BE.ADBC,BC=12AD,E为AD的中点,ADC=90,四边形BCDE为矩形,易知EC=2,HB=12EC=1,MH=12PE=32,在MHB中,tanMBH=MHHB=32,直线BM与平面ABCD所成角的正切值为32.(3)由(2)知CDBE,直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角(MBE或其补角),连接ME,在RtMHE中,ME=72,在RtMHB中,BM=72,又BE=CD=3,在MEB中,cosMBE=BM2+BE2-ME22BMBE=74+3-742723=217.直线BM与CD所成角的余弦值为217.3.(2018天津十二区县二模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,PAD=ABC=90,ABCD,DC=CB=12AB=1,PA=2.(1)求异面直线AB与PD所成角的余弦值;(2)证明:平面PAD平面PBD;(3)求直线DC与平面PBD所成角的正弦值.解析(1)取AB的中点E,连接DE、AC,ABCD,PDC(或其补角)是异面直线AB与PD所成的角,PACD,PAAD,CDAD=D,PA平面ABCD,易得CDEB,四边形EBCD是平行四边形,又EBC=90,DC=CB,四边形EBCD是正方形,DEAB,DA=DB=2,PD=6,AC=5,在RtPAC中,PC=3,cosPDC=6+1-926=-66.异面直线AB与PD所成角的余弦值为66.(2)证明:由(1)知BD=2,AD=2,AB=2,由勾股定理的逆定理得BDAD,又BDPA,PAAD=A,BD平面PAD,又BD平面PBD,平面PAD平面PBD.(3)ABCD,直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角,过点A作AHPD,垂足为H,连接BH,由(2)知平面PAD平面PBD,又平面PAD平面PBD=PD,AH平面PAD,AH平面PBD,BH为斜线AB在平面PBD内的射影,ABH是直线AB与平面PBD所成角,在RtPAD中,PAAD=PDAH,AH=233,故在RtABH中,sinABH=AHAB=33,直线DC与平面PBD所成角的正弦值为33.4.(2018天津和平一模,17)如图,在三棱锥P-ABC中,PB平面ABC,ACBC,PB=2,AB=22,D为PB的中点,E为AD的中点,点F在线段PC上,且PF=3FC.(1)求证:ACCD;(2)求证:EF平面ABC;(3)若BC=2,求二面角C-AD-B的度数.解析(1)证明:PB平面ABC,AC平面ABC,PBAC,又ACBC,BCPB=B,AC平面PBC,CD平面PBC,ACCD.(2)证明:取AB的中点M,在线段BC上取点N使BN=3NC,连接EM,MN,FN,EM是ABD的中位线,EMPB,EM=12DB=14PB,BN=3NC,PF=3FC,FNPB,FN=14PB,EMFN,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN,EF平面ABC,MN平面ABC,EF平面ABC.(3)过C作CHAB,过H作HKAD,垂足分别为H,K.PB平面ABC,PB平面PAB,平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,CH平面PAB,AD平面PAB,ADCH,又HKAD,CHHK=H,AD平面CHK,CK平面CHK,CKAD,CKH即为二面角C-AD-B的平面角,易求得CH=62,KH=22,tanCKH=CHKH=3CKH=60,所以二面角C-AD-B的度数为60.5.(2018天津河东一模,17)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,三角形ABC为正三角形,边长为2,ADDC,AD=1,PO垂直平面ABCD于O,O为AC的中点.(1)证明:PABO;(2)证明:DO平面PAB;(3)若PD=6,求直线PD与平面PAC所成角的正切值.解析(1)证明:ABC为正三角形,O为AC的中点,BOAC,PO平面ABCD,BO平面ABCD,BOPO,又ACPO=O,BO平面PAC,PA平面PAC,PABO.(2)证明:ADDC,AD=1,AC=2,CD=3,ACD=30,BCCD,ODA=OAD=60,BAC=60,DOAB,AB平面PAB,DO平面PAB,DO平面PAB.(3)过D作DFAC,垂足为F,连接PF,PO平面ABCD,PODF,ACPO=O,DF平面PAC,则PF为PD在平面PAC内的射影,DPF即为直线PD与平面PAC所成角的平面角,在ACD中,DFAC=ADDC,DF=32,PF=212,tanDPF=77,直线PD与平面PAC所成角的正切值为77.6.(2018天津南开一模,17)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,PC=CD=2,E为AB上一点,DEAC.底面四边形ABCD满足ADC=DCB=90,AD=1,BC=3.(1)求证:平面PDE平面PAC;(2)求异面直线PD与AB所成的角;(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.解析(1)证明:PC底面ABCD,PCDE,又DEAC,PCAC=C,DE平面PAC,DE平面PDE,平面PDE平面PAC.(2)作DMAB交BC于点M,连接PM,从而PDM或其补角即为异面直线PD与AB所成的角,ADC=DCB=90,ADBC,四边形ABCD为直角梯形,四边形ADMB为平行四边形,CD=2,AD=1,BC=3,AB=DM=22,CM=2,又PC底面ABCD,PC=2,PD=PM=22,PDM为等边三角形,PDM=60,即异面直线PD与AB所成角为60.(3)设AC与DE的交点为G,连接PG,过点C作CHPG于H点,由(1)知平面PDE平面PAC,且PG是交线,则CH平面PDE,从而CPG为直线PC与平面PDE所成的角.在RtADC中,CD=2,AD=1,AC=5,从而GC=455,又在RtPCG中,PC=2,CG=455,PG=655,sinCPG=CGPG=23,即直线PC与平面PDE所成角的正弦值为23.7.(2017天津河东二模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,且AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,且N为PC的中点.(1)求证:MN平面PAB;(2)求证:平面PMC平面PAD;(3)求直线AN与平面PMC所成角的正弦值.解析(1)证明:取PB的中点E,连接EN,AE,N为PC的中点,ENBC,且EN=12BC=2.由AM=2MD,AD=3,得AM=2,又ADBC,ENAM.四边形ENMA为平行四边形,MNAE,又AE平面PAB,MN平面PAB,MN平面PAB.(2)证明:取BC的中点F,连接AF.AB=AC,AFBC,又AMFC,AM=FC=2,四边形AFCM为平行四边形,故CMAD.又PA平面ABCD,CM平面ABCD,CMPA,又ADPA=A,CM平面PAD,CM平面PMC,平面PMC平面PAD.(3)过A作AGPM,垂足为G.由(2)知平面PMC平面PAD,又平面PMC平面PAD=PM,AG平面PAD,AG平面PMC,连接GN.则GN为AN在平面PMC上的射影,ANG为AN与平面PMC所成的角.在RtAPG中,AN=12PC=12PA2+AC2=52,在RtPAM中,AG=PAAMPA2+AM2=455,在RtANG中,sinANG=AGAN=8525,AN与平面PMC所成角的正弦值为8525.
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