线性代数课件1-1n阶行列式的定义.ppt

绪论 问题描述 Lagrange定理 给定n 1个不同点 插值这n 1 当我们手里握着n 1个黄豆 随意抛到地平面上 建立直角坐标系 每个黄豆将占据一点 求一条n次多项式曲线插值这n 1个点 个不同点的n次多项式曲线存在且唯一 比如 100个黄豆 99次多项式曲线 100个黄豆 用高斯消元法求解麻烦 寻找新工具便于用计算机求解 4个黄豆模拟 绪论 一个应用 二次曲线和二次曲面的形状判定 线性代数的中心内容 线性方程组求解 解的存在性 解的结构 由高斯消元法引入两个求解工具 行列式 矩阵 一个中心方法 矩阵的初等行变换 一次方程 第一章 1行列式的定义 本节我们将讨论 方程个数和未知数个数相同 且系数满足特定条件的线性方程组的求解 从而得到行列式这个工具 本节结构 二阶行列式的引出 三阶行列式的引出 n阶行列式的引出 四类特殊行列式计算 克拉默 Cramer 法则 我们从最简单的二元方程组出发 探索其解的规律 一 二阶行列式的引出 用高斯消元法求其解 方程组有唯一解 请观察 此公式有何特点 1 分母相同 由方程组的四个系数确定 2 分子分母都是两数乘积之差 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 数 称为数表 4 所确定的 二阶行列式 记为 用二阶行列式表示两数乘积之差 二阶行列式定义 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 系数行列式 于是 方程组有唯一解 例1 解 二 三阶行列式的引出 进行高斯消元可以得到 其中 三阶行列式定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 三阶行列式的计算 例2解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 故方程组的解为 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 例3 解 设所求的二次多项式为 由题意得 又 得 故所求多项式为 三 n阶行列式的引出 由二元方程组 两个变量 两个方程 求解得二阶行列式 由三元方程组 三个变量 三个方程 求解得三阶行列式 由n元方程组 n个变量 n个方程 求解得n阶行列式 大胆猜测 当 时 是用 替换 而得 中的第i列 但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则 正确求解线性方程组的解 说明 观察二阶与三阶行列式的计算 n阶行列式的计算原则 共同特性之一是对角线法则 并试图推广到n阶行列式 且能正确求解方程组 于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性 预备知识 全排列及其逆序数 元素的全排列 把n个不同的元素排成一列 叫做这n个 标准次序 由小到大的次序 时 就说有一个逆序 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数 例如排列54231 t 9 5前面比5大的数有0个 4前面比4大的数有1个 2前面比2大的数有2个 3前面比3大的数有2个 1前面比1大的数有4个 t 0 1 2 2 4 9 54231 自然排列 若一个排列中的所有元素按标准次序 排列 则称之为标准排列或自然排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 观察二阶行列式 不同行不同列2个元素的乘积 1项为正 1项为负 2 项的代数和 观察二阶行列式 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 12 21 0 1 观察三阶行列式 3 项代数和 不同行不同列三个元素的乘积 三项为正 三项为负 观察三阶行列式 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 123 0 231 2 312 2 321 3 213 1 132 1 n阶行列式定义 将n2个数排成n行n列的数表 按下列规 称为n阶行列式 其中t为列标排列的逆序数 则计算出的数 即 n阶行列式定义的三个要点 1 是n 项的代数和 如果一个行列式有一行 或一列 的元素全为零 则此行列式的值必为零 2 每一项的符号由逆序数的奇偶性确定 3 每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积 这样的项恰有n 项 由行列式的定义不难看出 四 思考与讨论 24 or24 五 四类特殊行列式计算 1 主对角行列式 2 副对角行列式 的逆序数为 3 下三角行列式 4 上三角行列式 n阶行列式也可以定义为 行标逆序 六 关于克拉默 Cramer 法则 非齐次线性方程组 定理 非齐次线性方程组 当 有唯一解 非齐次线性方程组 定理 非齐次线性方程组 可能无解 可能有无穷多解 时 有无穷多解 无解 齐次线性方程组 定理 齐次线性方程组 定理 齐次线性方程组 时有非零解 时只有零解 思考题 当 取何值时 有唯一解 有唯一解 解 练习 判断下面各方程组解的存在情况 小结 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式 四类特殊行列式计算 克拉默 Cramer 法则