Wilcoxon符号秩检验.ppt

2 2Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxonsigned ranktest 是非参数统计中符号检验法的改进 它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负 还利用了差的值的大小的信息 虽然是简单的非参数方法 但却体现了秩的基本思想 例2 4下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量 相当于纯酒精数 单位 升 数据已经按升幂排列 4 125 187 639 7410 3911 9212 3212 8913 5414 45人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精8升 也就是me0 8 由数据算得的中位数为11 16 因此 我们的检验设为 H0 me 8 H1 me 8 先计算每个样本值和原假设中me0的值之差 即Xi 8 考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序 从而求出这些绝对值的秩 再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和 如果这个和比较大 我们就拒绝原假设 接受备择假设 问题一般提法 假定样本X1 Xn来自分布连续对称的总体X 在此假定下总体X的中位数等于均值 问题主要是检验中位数 即原检验为H0 me me0 相对于各种单双边的备择假设 注 1 与符号检验不同 Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的 2 在总体分布对称的假设下 即设总体X的分布关于点 对称 则X的均值和中位数相同 且均为 所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心 即检验的原假设H0 M M0等价于H0 0 相对于各种单双边的备择假设 检验步骤 H0 0 对应于各单双边备择假设 Step1 计算i 1 2 n 记差为zi Step2 将差zi 的绝对值 即 按从小到大的顺序排列 由于总体服从连续型分布 不妨假定样本互不相等 都不等于0 且样本差的绝对值也互不相等 所以可得到样本zi 的绝对值的秩 不妨记的秩为Ri Step3 符号秩和检验统计量为其中或者取检验统计量为其中主要取W 为检验统计量 Step4设w 表示由样本算出的W 的值 1 H0 0 H1 0p值 P W w 2 H0 0 H1 0p值 P W w 3 H0 0 H1 0p值 2min P W w P W w 对Step4的注解 对于对称中心不为0的总体分布 可以转化为中心为0的情况进行检验 现不妨假设 0 0 则原假设变为H0 0对于这种检验 通过严格的证明来说明p值的选取 1 H0 0 H1 0 若H1成立 则总体X的分布关于点 对称 从而有 P X 0 P Xa P X a 所以当H1成立 不仅观察到的取正值的样本数据的个数比较多 且取正值的样本数据的拒绝值也比较大 由此 H1成立时 W 的值较大 所以p值 P W w 例2 2中我们的检验设为 H0 M 8 H1 M 8下面来用Wilcoxon符号秩检验 等价于检验H0 8 H1 8 检验步骤Step1 对于i 1 2 n 计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下 Step2 计算W W 2 4 6 7 8 9 10 46利用W 的分布 辅以统计软件 可计算出p值 0 032 Step3 所以给定 0 05时 此时可拒绝原假设 认为欧洲人均酒精年消费多于8升 W 的分布性质 设独立同分布样本x1 xn来自连续对称总体X X分布的对称中心为 为方便讨论 不妨设原假设为H0 0 即总体分布关于原点0对称的条件下 讨论W 的性质 注 W 与W 有下列关系 W W n n 1 2 关键 性质2 1令则在总体的分布关于原点0对称时 W 与S同分布 注 S是W 当Ri i时的特殊情况 研究W 的分布可转为研究S的分布 概率分布性质2 2在总体的分布关于原点0对称时 W 的概率分布为P W d P S d tn d 2n 其中 d 0 1 2 n n 1 2 tn d 表示从1 2 n这n个数中任取若干个数 包括一个都不取 其和恰为d 共有多少种取法 对称性性质2 3在总体的分布关于原点0对称时 W 服从对称分布 对称中心为n n 1 4 即 对所有的d 0 1 2 n n 1 4 有P W n n 1 4 d P W n n 1 4 d P W n n 1 4 d P W n n 1 4 d 期望方差及渐近正态性性质2 4在总体分布关于原点0对称时 E W n n 1 4 D W n n 1 2n 1 24 性质2 5若总体分布关于原点0对称 则在样本容量n趋于无穷大时 W 有渐近正态性 W N n n 1 4 n n 1 2n 1 24 有结的情况下 用平均秩法 性质2 6在总体的分布关于原点0对称 有结秩取平均时 E W n n 1 4 D W n n 1 2n 1 24 其中g表示结的个数 表示第i个结的长度 有结时 W 的期望和方差实际上是条件期望和方差 它们是在样本数据中给定有g个结 且结的长度分别给定为时的条件期望和条件方差 与符号检验的比较 续例2 2两个不同方向的假设检验 考虑下面的假设检验 H0 M 12 5 H1 M8 H1 对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符号检验方法 符号检验结果对于检验 H1 S 3 S 7 检验统计量K S 3 p值 0 171875 对 0 05 不能拒绝H0 对于检验 H2 S 7 S 3 检验统计量K S 3 p值 0 171875 对 0 05 不能拒绝H0 结果完全对称 说明符号检验只与符号有关 Wilcoxon符号秩检验结果对于检验 H1 检验统计量W 46 p值 0 03223 对 0 05 拒绝H0 对于检验 H2 检验统计量W 11 p值 0 05273 对 0 05 不能拒绝H0 结果不对称 说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号有关 还和数值大小有关 Wilcoxon符号秩检验置信区间 Walsh平均为利用更多的信息 可求每两个数的平均 Xi Xj 2 i j 一共有n n 1 2个 来扩大样本数目 这样的平均称为Walsh平均 Walsh平均和W 的关系 在原假设成立的条件下 即H0 0成立 有特别当原假设为H0 0成立 有 Hodge Lehmann估计量利用Walsh平均可以得到对称中心 的点估计 即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心 称之为Hodge Lehmann估计量 0的置信区间 可利用Walsh平均得到 0的100 1 置信区间 具体步骤 1 先求出满足下面两式的整数k 即k使得P W k 2 P W n k 2 2 将求出的Walsh平均数 按升幂排列 记为W 1 W N N n n 1 2 则 0的100 1 置信区间为 W k 1 W N k 再看看例2 2的置信区间 求出其Walsh平均 共55个值 取 0 05 则求得k 9时 有P W 9 0 025 P W 55 9 0 025 所以 的95 的置信区间为 W 10 W 46 8 02 12 73 两配对数据比较问题 两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题 用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析 方法是将两成对样本作差 观察它们的差值 将其视为新的样本 所以两配对样本实际上就是单一样本 例2 3给12组双胞胎做心理检验 以测量每个人的进取心 我们感兴趣的是对双胞胎进行比较 看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取心 结果如下 高分显示更多的进取心 表中 Xi表示第一个出生的得分 Yi表示第二个出生的得分 Di表示两者差 即Di Yi Xi i 1 2 12 Ri表示Di绝对值的秩 则D1 D12是独立同分布的 且设总体为D 问题是求D的中位数MD的95 置信区间 Di的12个值按顺序排列为 15 12 10 8 7 4 3 1 2 5 6 9取 0 05 查表可得k 14 则MD的95 的置信区间为 W 15 W 64 这15个最小的平均 由 15 15 2开始 是 15 13 5 12 5 12 11 5 11 11 10 10 9 5 9 5 9 9 8 5 8所以 W 15 8 即置信区间下界是 8 15个最大的平均 从 9 9 2开始 是9 7 5 7 6 5 5 5 5 5 4 4 3 5 2 5 2 2 1 5 1所以 W 64 1 置信区间的上界是1 所以中位数95 的置信区间是 8 1