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【课时训练】函数模型及其应用一、选择题1(2018德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为()A5B8C9D10【答案】A【解析】5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln ，f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时， f(k)aa，即，k10，则mk55.2(2018安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()【答案】C【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况故选C.3(2018北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlg H，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()ABCD【答案】C【解析】HOH1014，H21014，7.35lg H7.45，107.45H107.35，100.91014H2，lg(100.7)0.7lg 3lg 2，100.732，100.7，0)若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()AB5CD2【答案】A【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20x)万元，总利润yPQ.令y5，则5对0x20恒成立a10，a对0x20恒成立f(x)的最大值为，且x20时，a10也成立，amin.故选A.二、填空题5(2018山东日照一模)某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件若要获得最大利润，销售价应定为每件_元【答案】190 元【解析】设售价提高x元，则依题意y(1 0005x)(20x)5x2900x20 0005(x90)260 500.故当x90时，ymax60 500，此时售价为每件190元6(2018浙江台州一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是_【答案】(100,400) 【解析】设y，令5%y6%，即(200x)5%2007%x4%(200x)6%，解得100x400.7(2019陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.【答案】9【解析】由已知可得y由y22.6解得x9.8(2018湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)【答案】8【解析】设过滤n次才能达到市场要求，则2%n0.1%，即n，所以nlg1lg 2，所以n7.39，所以n8.9(2018湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时【答案】10【解析】由题设可得(10.1)P0P0e5k，即0.9e5k，故5kln 0.9；又(10.19)P0P0ekt，即0.81ekt，故ktln 0.812ln 0.910k，故t10，应填10.10(2018四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)，则鱼群年增长量的最大值是_【答案】【解析】由题意，空闲率为1，ykx，定义域为(0，m)，ykx2，x(0，m)，k0，当x时，ymax.三、解答题11(2018江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上已知ACB60，|AC|30米，|AM|x米，x10,20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)求总造价T关于面积S的函数Tf(S)；(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?【解】(1)在RtPMC中，显然|MC|30x，PCM60，|PM|MC|tanPCM(30x)，矩形AMPN的面积S|PM|AM|x(30x)，x10,20，200S225.(2)矩形AMPN健身场地造价T137k，又ABC的面积为450，草坪造价T2(450S)总造价TT1T225k，200S225.(3)12，当且仅当，即S216时等号成立，此时x(30x)216，解得x12或x18.答：选取|AM|为12米或18米时总造价T最低12(2018福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴(1)当x200,300时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解】(1)当x200,300时，该项目获利为S，则S200x(x400)2，当x200,300时，S200，当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
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