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张家口市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后求出，即可得到答案。【详解】，则.故答案为C.【点睛】本题考查了集合的运算，主要涉及交集与补集，属于基础题。2.已知是虚数单位，是的共轭复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得z,写出z的共轭复数，即可得到虚部.【详解】z=2i1+i=2i1-i(1+i)(1-i)=2i+22=1+i，1i，其虚部为1，故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数及复数虚部的概念，属于简单题.3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x1，x2，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）A. x1x2，乙比甲成绩稳定C. x1x2，甲比乙成绩稳定【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是x1=102+104+105+114+1335=91.6，乙的平均数是x2=108+115+116+122+1235=116.8，所以x10即可得到答案.【详解】f(x)=ax3+3x+2，则f(x)=3ax2+3,又f(-1)=-3，则f-1=3a+3=-3，解得a=-2,fx=-6x2+3,解fx0,得-22x0),，则2f(x)f(x+2)的解集为（ ）A. 1,23 B. 1,1 C. 23,1 D. 1,+【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式分三种情况：x-2时，不等式转化为-2x-x+2；当-20时，不等式转化为4x2x+2，分别求解进而可以得到答案。【详解】由题意，当x-2时，2fx=-2x，fx+2=-x+2，则-2x-x+2，解得x2，与x-2矛盾，故不成立；当-2x0时，2fx=-2x，fx+2=2x+2，则-2x2x+2，解得-1x2，由于-20时，2fx=4x，fx+2=2x+2，则4x2x+2，解得x23，由于x0，故00bx+1,x0，且f13=-1，f(-1)=3,则f(f(-3)=_【答案】2【解析】【分析】由f13=loga13=-1，f-1=b-1+1=3，可以求出a,b，从而得到函数f(x)的表达式，进而可以求出f-3，及ff-3，即可得到答案。【详解】由题意知，f13=loga13=-1，解得a=3，f-1=b-1+1=3，解得b=12，故函数表达式为f(x)=log3x,x012x+1,x0，则f-3=12-3+1=9，则ff-3=f9=log39=2.故答案为2.【点睛】本题考查了分段函数，考查了指数幂的运算，及对数式的运算，属于基础题。14.设变量x，y满足的约束条件xy+20,2x+3y60,3x+2y90,，则目标函数z=x+7y的最大值为_【答案】22【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,对应的平面区域如图由z=x+7y得到y=-17x+z7，平移直线y=-17x+z7，由图象可知当直线y=-17x+z7经过点B时，直线y=-17x+z7的截距最大，此时z最大， 由x-y+2=03x+2y-9=0解得B(1,3)此时z1+3722，故答案为：22【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.经过点P(4,1)作圆x2+y22y=0的切线，设两个切点分别为A，B,则tanAPB=_【答案】199【解析】【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出PD=25，DA=1，从而求出tanAPD的值，由APB=2APD，利用二倍角的正切公式，可以求出tanAPB的值.【详解】圆的方程可化为x2+y-12=1，则圆心为D0,1，半径为r=1，设APD=，APDA，PD=42+-1-12=25，PA=PD2-r2=20-1=19，则tan=DAPA=119=1919,tanAPB=tan2=2tan1-tan2=219191-119=199.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题。16.在锐角ABC中，AC=2，AB=22,D在BC边上，并且BD=2DC，CAD=6，则ABC的面积为_【答案】3+1【解析】【分析】在ADC中，由正弦定理DCsinCAD=ACsinADC，可得到sinADC=1DC，在ADB中，由正弦定理DBsinBAD=ABsinADB，可得到sinBAD=DBsinADBAB=2DC1DC22=22，由BAD是锐角，可知BAD=4，BAC=4+6，结合三角形的面积公式可得到答案。【详解】在ADC中，由正弦定理得：DCsinCAD=ACsinADC，则sinADC=2sin61DC=1DC，在ADB中，由正弦定理得：DBsinBAD=ABsinADB，则sinBAD=DBsinADBAB，因为sinADB=sinADC=1DC，BD=2DC，所以sinBAD=2DC1DC22=22，由于三角形是锐角三角形，故BAD=4，则sinBAC=sin4+6=2+64，故ABC的面积为122222+64=3+1.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a5=5，S4=10，bn0，b2=a4，b4=a16.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=2an(bn-1)(bn+1-1)，求数列cn的前n项和Tn.【答案】（1）an=n，bn=2n；（2）2n+122n+11【解析】【分析】（1）由an是等差数列，a5=5，S4=10，可求出an=n，由bn是等比数列，bn0，b2=a4，b4=a16，可求出bn=2n；（2）将an和bn的通项公式代入cn，则cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1，利用裂项相消求和法可求出Tn.【详解】(1)a5=5，S4=10，a1+4d=5,4a1+432d=10,，解得a1=1,d=1,an=n.又b2=4，b4=16，b1q=4,b1q3=16,bn0, b1=2,q=2, bn=2n.（2）由（1），得cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1Tn=c1+c2+cn=121-1-122-1+ 122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1=2n+1-22n+1-1【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前n项和，属于中档题。18.四棱柱ABCD-ABCD中，侧棱AA底面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，AB=2，AA=3，E，F分别是AB，BD的中点.（1）求证：EF/平面BCCB；（2）求四面体F-AEC的体积.【答案】（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）连接FC，可知F是AC的中点，连接BC，由于E是AB的中点，可知EF/BC，即可证明EF/平面BCCB；（2）由于BF平面AACC，可证明VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，求出VB-AACC即可得到答案。【详解】（1）证明：连接FC，在菱形ABCD中，因为F是BD的中点，所以F是AC的中点.连接BC，则在ABC中，又由于E是AB的中点，所以EF/BC.又EF平面BCCB，平面BC BCCB，所以EF/平面BCCB.（2）解：VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，由于BF平面AACC，BF=232=3，VB-AACC=13233=2，故VF-AEC=18VB-AACC=14.【点睛】线面平行的证明，关键在于在平面内找出与已知直线的平行线；三棱锥的体积，常常通过等体积法求解，学生在学习中要重视这种题型。19.某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组2,6)，6,10)，10,14)，14,18)，18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量. （3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.【答案】（1）24；（2）见解析；（3）35【解析】【分析】（1）由频率之和等于1，列出方程0.02+0.08+0.09+2a4=1，求解即可；（2）各组应抽取的销售点数量比例为2:8:9:3:3，按比例计算即可；（3）完成年销售任务的销售点，14,18)中有3个，18,22)中有3个，不在一组的基本事件有9个，所有的基本事件有15个，即可得到概率为915=35。【详解】（1）0.02+0.08+0.09+2a4=1，解得a=0.03，则完成年销售任务的销售点个数为0.0324100=24.（2）各组应抽取的销售点数量比例为2:8:9:3:3，则各组应抽取的销售点数量分别为2，8，9，3，3.（3）在第（2）问容量为25的样本中，完成年销售任务的销售点，14,18)中有3个，记为A1，A2，A3，18,22)中有3个，记为B1，B2，B3.从这6个销售点中随机选取2个，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A2A3，B1B2，B1B3，B2B3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共15个基本事件，不在一组的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共9个基本事件，故所求概率为915=35.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，考查了概率的计算，属于基础题。20.以P为圆心的动圆经过点F(1,0)，并且与直线x=1相切.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若A，B，C，D是曲线C上的四个点，ABCD，并且AB，CD相交于点F，直线AB的倾斜角为锐角.若四边形ABCD的面积为36，求直线AB的方程.【答案】（1）y2=4x；（2）y=2(x1)或y=22(x1)【解析】【分析】（1）设圆P与直线x=-1相切于点E，则PE=PF，点P的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2）设直线AB的方程为y=k(x-1)，k0，与抛物线方程联立可得AB=x1+x2+2 =4+4k2，同理可得CD=4+4k2，则四边形ABCD的面积S=12ABCD=124+4k24+4k2=36，即可求出k，进而得到直线AB的方程。【详解】（1）设圆P与直线x=-1相切于点E，则PE=PF，即点P到F的距离与点P到直线x=-1的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线.F是焦点，x=-1是准线.所以C的方程为y2=4x.（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=k(x-1)，k0.由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=2k2+4k2. AB=x1+x2+2 =4+4k2.同理，CD=4+4k2.所以四边形ACBD的面积S=12ABCD =124+4k2(4+4k2) =81+1k2(1+k2).由81+1k2(1+k2)=36，得k2=2或k2=12，所以k=2或k=22.所以直线AB的方程为y=2(x-1)或y=22(x-1).【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理的运用，抛物线弦长公式及焦半径的运用，属于中档题。21.已知函数f(x)=x2+(a2)xalnx (a0).（1）求f(x)的单调区间；（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)为函数f(x)图象上不同的两点，PQ的中点为M(x0,y0)，求证：f(x1)f(x2)x1x2f(x0).【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数求导f(x)=(x-1)(2x+a)x，函数定义域为(0,+)，由于-a201，可知 当0x1时，f(x)1时，f(x)0，即可判断单调性；（2）先求出f(x0)=x1+x2+a-2-2ax1+x2，和f(x1)-f(x2)x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2，则要证的不等式f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)-alnx1x2x1-x22x1+x2，不妨假设x1x20，即证lnx1x22x1x2-1x1x2+1，令t=x1x21，构造函数h(t)=lnt-2(t-1)t+1，求导可判断函数h(t)在(1,+)上单调递增，则h(t)h(1)=0，进而可以证明不等式成立。【详解】（1）f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=2x+a-2-ax =(x-1)(2x+a)x.由于-a201，则当0x1时，f(x)1时，f(x)0，则f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+).（2）证明：因为M(x0,y0)为PQ的中点，则x0=x1+x22，故f(x0)=2x0+a-2-ax0 =x1+x2+a-2-2ax1+x2，f(x1)-f(x2)x1-x2= x12+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2=x12-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2故要证f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)，即证-alnx1x2x1-x20，即证lnx1x2x1-x22x1+x2.不妨假设x1x20，只需证明lnx1x22(x1-x2)x1+x2，即lnx1x22x1x2-1x1x2+1.设t=x1x21，构造函数h(t)=lnt-2(t-1)t+1，ht=1t-4t+12=(t-1)2t(t+1)20，故h(t)在(1,+)上单调递增，则h(t)h(1)=0，则有lnx1x22x1x2-1x1x2+1，从而f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0).【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了函数的导数，函数的单调性，考查了不等式的证明，及构造函数的思想，属于难题。22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=8+4ty=1t（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(54cos2)=9.（1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点M到的距离的最大值.【答案】（1）直线：x+4y12=0，曲线C：x29+y2=1（2）17【解析】【分析】（1）消去参数t即可得到直线l的普通方程，利用2=x2+y2，x=cos，y=sin化简可得曲线C的直角坐标方程；（2）由曲线C的方程，设M(3cos,sin)，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解【详解】（1）x=8+4t,y=1-t,消，得：x+4y-12=0.2(5-4cos2)=9，25-4(1-2sin2)=9.2(1+8sin2)=9，即2+82sin2=9x2+y2+8y2=9，即x2+9y2=9.x29+y2=1.直线：x+4y-12=0，曲线C：x29+y2=1.（2）曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin,（为参数），设M(3cos,sin)，则d=3cos+4sin-1217 =5sin(+)-1217（其中满足sin=35，cos=45）.5sin(+)-5,5，dmax=1717=17.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，考查点到直线的距离公式，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力23.已知函数f(x)=2x+a2x1 (aR).（1）若a=2，求不等式f(x)3的解集；（2）若不等式f(x)2的解集非空，求的取值范围.【答案】（1）xx12（2）aa1或a3【解析】【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集.（2）不等式f(x)2有解，即f(x)max2,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】(1)a=2f(x)=2x+2-2x-1 =-3,x12,当x-1时，f(x)3无解； 当-1x12时，由f(x)3，得4x+13，解得x12，x=12；当时，恒成立，.所以不等式的解集为.（2） .由的解集非空，.或，解得或.的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.
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