资源描述
专题06 指数函数考点29根式的化简运算考点30根式与分数指数幂的互化考点31指数幂的运算考点32指数函数考点33指数函数定义域和特殊点考点34指数函数单调性与值域考点35指数函数的图象变换考点36指数函数综合题考点37指数式与对数式的互化考点29 根式的化简运算要点阐述根式（1）定义：如果，那么x称为a的n次方根.（2）两个重要公式： a. 典型例题【例】计算： .【解析】32()221(1)2，原式 |1|(1)|1|1111小试牛刀1（a4）0有意义，则a的取值范围是Aa2B2a4Ca2Da4252的平方根是ABCD，【答案】D【解析】52（）2，从而52的平方根是和，从而选D项3下列各式正确的是A3BaC2D2【答案】C【解析】由于3，|a|，2，故A、B、D错误，故选C【易错易混】解题时注意符号4下列式子中成立的是AaBaCaDa【答案】C【解析】要使a有意义，则a0，故a（a），故选C5的值是A0B2（ab）C0或2（ab）Dab【答案】C【解析】分类讨论，当ab0时，原式（ab）（ab）2（ab）；当ab0，y0Bx0，y0Cx0Dx0，y0【答案】C【解析】xy0，x0，y0由，得选C4求下列各式的值：（1）；（2）（3x0，y0Bx0，y0Cx0Dx0，y0【答案】C【解析】xy0，x0，y0由，得选C【解题技巧】解答本题是注意被开方数的取值范围小试牛刀1已知x56，则x等于ABCD【答案】B【解析】由根式的定义知，x56，x，选B【规律小结】化简计算时常将根式化为分数指数幂，求函数定义域时，为方便观察各式的取值范围，常将分数指数幂化成根式2下列各式中成立的一项是A（）7n7mBC（xy）D【答案】D【解析】（）7n7m7；（x3y3）3已知a，b，则的值为A1BC3D2【答案】A【解析】1【解题指南】若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答4用分数指数幂分别表示=_，=_【答案】，【解析】；【易错易混】可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数幂的分母5用根式分别表示表示=，=_考题速递1使代数式（|x|1）有意义的x的取值范围是A|x|1B1x1DxR，且x1【答案】D【解析】（|x|1），|x|10，即x1x的取值范围是xR，且x12用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）3已知0xb0，求的值【答案】【解析】（1）a，b是方程x26x40的两实数根，ab0，则2数学文化幂的玄机有一天，一个叫杰米的百万富翁，碰上一件很奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头这其中的奥妙玄机在哪呢？ 考点31 指数幂的运算要点阐述指数幂的运算性质（1）（2）（3）典型例题【例】若a1，b0，abab2，则abab等于AB2或2C2D2【答案】D【方法技巧】平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可小试牛刀1下列各式运算错误的是A（a2b）2（ab2）3a7b8B（a2b3）3（ab2）3a3b3C（a3）2（b2）3a6b6D（a3）2（b2）33a18b18【答案】C【解析】对于A，（a2b）2（ab2）3a4b2（a3b6）a7b8，故A正确；对于B，（a2b3）3（ab2）3a6b9（a3b6）a63b96a3b3，故B正确；对于C，（a3）2（b2）3a6（b6）a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C2下列各式中正确的个数是（1）（）na（n是奇数且n1，a是实数）；（2）（）na（n是正偶数，a是实数）；（3）ab（a，b是实数）A0B1C2D3【易错易混】对指数幂的运算，要分清开方、乘方等的运算顺序，用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式3计算（2a3b）（3a1b）（4a4b）得Ab2Bb2CbDb【答案】A【解析】原式b2【解题技巧】指数幂运算的一般原则（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答4（）0的值是A0BC1D【答案】B【解析】原式0515计算02505的值为A7B3C7或3D5【答案】B【解析】025052323236完成下列式子的化简：（1）（a2b3）（4a1b）（12a4b2c）；（2）243考题速递1计算+，结果是A1B2CD【答案】B【解析】原式=+1=+11=22的值等于A1B2CD【答案】B【解析】原式22223已知，则的值=_【答案】4已知67x27,603y81，求的值【答案】2【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形，67x27，67x33，同理，由603y81得，两式相除得，2数学文化举一反三有一天，“至圣先师”孔子对他的学生说：“举一隅，不以三隅反，则不复也”意思是说，我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！考点32 指数函数要点阐述指数函数的概念:函数yax（a0,且a1）叫做指数函数【特别提醒】（1）底数是大于0且不等于1的常数；（2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上；（3）ax的系数必须为1；（4）指数函数不会是多项式，如y=2x+1不是指数函数典型例题【例】已知函数f（x）是指数函数，且f，则f（3）_A5B25C125D250【思路归纳】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式；将x=3代入解析式，即可求出f（3）小试牛刀1下列各项对正整数指数函数的理解正确的有底数a0；指数xN；底数不为0；yax（a0，a1，xN）A0个B1个C2个D3个【答案】D【解析】由正整数指数函数定义知错误，正确故选D2下列各函数中，是指数函数的是Ay（3）xBy3Cy3x1Dyx【答案】D【解析】根据指数函数的定义，yax（a0且a1），可知只有D项正确故选D3函数y5x，xN的值域是ARBNCND5，52，53，54，【易错易混】注意自变量的取值，准确写成集合的形式。4函数f（x）（a23a3）ax是指数函数，则有Aa1或a2Ba1Ca2Da0且a1【答案】C【解析】由题意得解得a2【易错易混】根据指数函数的定义，可将“函数y=（a23a+3）ax是指数函数”转化为a23a+3=1，且底数满足：a0且a1，进而解方程求出a值5经过点（，）的指数函数的解析式为Ay（）xBy（）xCy（）xDy（）x【答案】A【解析】将点（，）代入指数函数yax（a0且a1）中，则a，即（）（）3，所以，即a考题速递1下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3，其中指数函数的个数是A0B1C2D32指数函数的图像经过点（2，16）则的值是ABC2D4【答案】D【解析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可设指数函数为（且）,将（2，16）代入得,解得a=4,所以3指数函数y=f（x）的图象经过点，那么f（4）f（2）等于A8B16C32D64【答案】D【解析】设f（x）=ax，由条件知f（2）=，故a2=，所以a=2，因此f（x）=2x，所以f（4）f（2）=2422=644若函数y（43a）x是指数函数，求实数a的取值范围【答案】a|a且a1【解析】y（43a）x是指数函数，需满足：解得a且a1，故a的取值范围为a|a0，即x1函数的定义域为（1，+）【解题技巧】求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是R，后者的定义域与的定义域一致小试牛刀1若函数f（x）3x3x与g（x）3x3x的定义域为R，则Af（x）与g（x）均为偶函数Bf（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数Df（x）为奇函数，g（x）为偶函数2函数f（x）1的定义域、g（x）1的定义域正确的是Af（x）定义域是R，g（x）定义域是RBf（x）定义域是（1，），g（x）定义域是RCf（x）定义域是R，g（x）定义域是（1，）D以上都不对【答案】A【解析】f（x）（）x1，定义域为R，g（x）1的定义域为R，故选A3函数yax33（a0，且a1）的图象过定点_【答案】（3，4）【思路归纳】思路一：令指数，求得与的值即得定点的坐标；思路二：利用函数过定点，结合函数图象的平移求函数yax33（a0，且a1）的图象过定点得坐标4函数ya2xb1（a0，且a1）的图象恒过定点（1，2），则b_【答案】2【解析】把点（1,2）代入，得2a2b1，a2b1恒成立2b0，b25求函数的定义域【答案】R【解析】因为对于任意的，函数都有意义，所以函数的定义域为R【易错易混】指数型函数的定义域要考虑系数、底数、指数各部分都有意义。考题速递1设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，则ABA0,2B（1,3）C1,3）D（1,4）【答案】C【解析】本题考查指数函数集合的运算|x1|2，2x12，即1x0且a1）的图象必经过点A（0,1）B（1,1）C（2,0）D（2,2）【答案】D【解析】由yax过定点（0,1），则yax21中x20时ya012，即过点（2,2）3已知函数f（x）ax，其中a0，且a1，如果以P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）f（x2）等于A1BaC2Da24若函数y为奇函数（1）求a的值；（2）求函数的定义域【答案】（1）；（2）x|x0【解析】函数y，ya（1）由奇函数的定义，可得f（x）f（x）0，即aa0，2a0，a（2）y，2x10，即x0函数y的定义域为x|x0数学文化庄子曰:一尺之棰，日取其半，而万世不竭。 考点34 指数函数单调性与值域要点阐述指数函数:（1）当a1时，在R上为增函数当0a253B082083C20905【答案】D【解析】y09x是减函数，且0503，090309052函数f（x）=3x3（1x5）的值域是A（0，+）B（0，9）CD【答案】C【解析】因为1x5，所以2x32，323x332，于是有f（x）9，即所求函数的值域为【易错易混】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为，切记准确运用指数函数的单调性3若2x11，则x的取值范围是A（1,1）B（1，）C（0,1）（1，）D（，1）【答案】D【解析】由2x120，函数y2t在R上是增函数，所以x10，得xbcBacbCcabDbca【解题技巧】比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值（0或1）法5若函数f（x）a|x1|（a0，且a1）的值域为1，），则f（4）与f（1）的关系是Af（4）f（1）Bf（4）f（1）Cf（4）1，f（4）a3，f（1）a2，由单调性知a3a2，f（4）f（1）6设f（x），求f（x）的值域【解析】令y，（2x1）y2x1,2x（y1）1y,2x，2x0，0，或解得1y1故值域为y|1y1，即f（x）（1,1）考题速递1下列函数中，满足“f（xy）f（x）f（y）”的单调递增函数是Af（x）x3Bf（x）3xCf（x）xDf（x）x【答案】B2设a0606，b0615，c1506，则a，b，c的大小关系是AabcBacbCbacDbca【答案】C【解析】根据指数函数y06x在R上单调递减可得061506061501，ba2y3x，则下列各式中正确的是Axy0Bxy0Dxy2y3y2y3（y），可知f（x）f（y）又f（x）为增函数，所以xy，故xy0故选A4若a0且a1，试比较a与a的大小【答案】（1）a1时，aa；（2）0a10anm0，则指数函数ymx，ynx的图象为【答案】C3若0a1，b1，则函数f（x）axb的图象不经过A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】b1，f（x）axb的图象可以看作把yax（0a1）的图象向下平移b个单位如图所示故f（x）axb（0a1，b1，b1，b0C0a0D0a1，b0，且a1）的图象有两个公共点，求a的取值范围【解析】当a1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知12a2，即a1矛盾当0a1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知12a2，即a1，即为所求故填a0，且a1）的图象可能是【答案】D2若函数yaxb的图象如图所示，则函数yb1的图象为ABCD【答案】C【解析】由图可知0a1，2b1。又因为函数yb1的图象是由y向左平移a个单位，向下平移|b1|单位而得到的。结合四个选项可知C正确，故选C。3函数y（0a0，a1）的值域为1，），则f（4）与f（1）的关系是Af（4）f（1）Bf（4）f（1）Cf（4）1，f（4）a3，f（1）a2，由单调性知a3a2，f（4）f（1）3已知函数f（x）（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）axb的图象是【答案】A【解题技巧】4函数y的值域是A0，）B0，4C0，4）D（0，4）【答案】C【解析】因为4x0，所以164x16又因为164x0，所以0164x16，即04，即y0，4）【易错易混】要考虑到4x的范围，根式的要求5已知集合M1,1，Nx|2x14，xZ，则MNA1,1B1C0D1,0【答案】B【解析】解法一：验证排除法：由题意可知0MN，故排除C、D；又1N，1MN，故排除A，故选B解法二：M1,1，Nx|1x12，xZx|2x1，xZ1,0，MN16已知函数f（x）（a为常数）（1）证明：函数f（x）在（，）上是减函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值（2）f（x）为奇函数且在x0处有意义，f（0）0，即0a1考题速递1下列函数为偶函数的是Af（x）x1Bf（x）x2xCf（x）2x2xDf（x）2x2x【答案】D【解析】函数f（x）x1和f（x）x2x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f（x）2x2x，则f（x）2x2x（2x2x）f（x），所以f（x）2x2x为奇函数，排除选项C；选项D中f（x）2x2x，则f（x）2x2xf（x），所以f（x）2x2x为偶函数，故选D2当x（，1时，不等式（m2m）4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是A（2,1）B（4,3）C（1,2）D（3,4）3已知方程|2x1|a有两个不等实根，则实数a的取值范围是A（，0）B（1,2）C（0，）D（0,1）【答案】D【解析】函数y|2x1|，其图象如图所示由直线ya与y|2x1|的图象相交且有两个交点，可得0a0，a1）的图象经过点A（1,6），B（3,24）（1）求f（x）；（2）若不等式xxm0在x（，1时恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）f（x）32x；（2）m【解析】（1）把A（1,6），B（3,24）代入f（x）bax，得结合a0且a1，解得f（x）32x数学文化“因”与“果”客观事物存在相互的联系过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系，比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学成绩是“因”，物理成绩是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 考点37 指数式与对数式的互化要点阐述指数式abN（a0，且a1）与对数式logaNb（a0，且a1）可互相转化，即abNlogaNB典型例题log5log3（log2x）0，则x等于ABCD【答案】C【思路归纳】此题中log5log3（log2x）=0是复合型对数方程解方程的问题，此类方程宜采取从外而内的方式逐层求解小试牛刀1若logab（a0且a1），则下列等式正确的是ANa2bBN2abCNb2aDN2ab【答案】A【解析】把logab写成ab，N（ab）2a2b【解题技巧】指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：ab=Nb=logaN2若a0，且a1，c0，则将abc化为对数式为AlogabcBlogacbClogbcaDlogcab【答案】B【解析】由对数的定义直接可得logacb3若logxz则Ay7xzByx7zCy7xDyz7x【答案】B【解析】由logxz得：xz，yx7z4已知logx4，则xAB1C2D4【易错易混】化对数式为指数式，再由有理指数幂的运算性质化简求值注意根据条件，合理的舍去，避免增根5方程2log3x的解是A9BCD【答案】D【解析】2log3x22log3x2x326若logxm，logym2，求的值考题速递1若logx4，则x，y之间的关系正确的是Ax4By64xCy3x4Dx【答案】A【解析】logx4logxx4，则x42已知方程x2xlog26log230的两根为、，则（）（）AB36C6D6【答案】B【解析】由题意知：log26，（）（）（）（）log264log2622log26363如果f（10x）x则f（3）等于AlogBlg3C103D310【答案】B【解析】设10xt，则xlgt于是f（t）lgt，故f（3）lg34若m，logym2，求的值【答案】16数学文化自然对数e和Ine有时被称为自然常数（Naturalconstant），是一个约等于271828182845904523536的无理数。以e为底的对数称为自然对数（Naturallogarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Naturalnumber）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。
展开阅读全文