资源描述
第七章 第7节 立体几何中的向量方法 第二课时 基础训练组1(导学号14577717)已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，SD底面ABCD，SD1，AB2，AD1，DAB60，M、N分别为SB、SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD、AB相交于点P、Q.若，求二面角MPQB的平面角大小()A60B30C45 D75解析：A在ABCD中，设AB2AD4，DCB60，所以由余弦定理求得BD，有AB2AD2BD2，所以ADBD，6分以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，且A(1,0,0)，B(0，0)，S(0,0,1)，M，又，则Q.设平面MNPQ的法向量为n(x，y，z)，由，得n(0，1), 易知平面ABCD的法向量为m(0,0,1)，则cosm，n，所以二面角MPQB为60.2(导学号14577718)(2018秦皇岛市模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：C以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以cos，.3(导学号14577719)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A. B.C. D.解析：AAB1，AC2，BC，AC2BC2AB2，ABBC.三棱柱为直三棱柱，BB1平面ABC.以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A(0,1,0)，C(，0,0)设B1(0,0，a)，则C1(，0，a)，D，E，平面BB1C1C的法向量(0,1,0)设直线DE与平面BB1C1C所成的角为，则sin |cos，|，.4(导学号14577720)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()A. B.C. D.解析：ABC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，求得平面AMC的一个法向量为n(1，2,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值为.5(导学号14577721)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. B.C2 D.解析：A如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)由，得，令z1，则m(a,1，1)又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60，得，解得a，所以AD.故选A.6(导学号14577722)(2018郑州市模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2，1)，(1,2,0)设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，设所求线面角为，则sin |cosn，|.答案：7(导学号14577723)如图，在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成角为_.解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案：308(导学号14577724)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_.解析：如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0) .设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.答案：9(导学号14577725)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上(1)求证：EF平面PAC；(2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，因为ABAC，BCD135，所以ABAC.由E，F分别为BC，AD的中点，得EFAB, 所以EFAC.2分因为侧面PAB底面ABCD，且BAP90，所以PA底面ABCD.又因为EF底面ABCD，所以PAEF.4分又因为PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC.5分(2)因为PA底面ABCD，ABAC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(2,2,0)，E(1,1,0)，7分所以(2,0，2)，(2,2，2)，(2,2,0)，设(0,1)，则(2，2，2)，所以M(2，2，22)，(12，12，22)，易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，9分由得令x1，得n(1,1,1)10分因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，解得，或(舍)综上所得：12分10(导学号14577726)(2018济宁市一模)如图甲：O的直径AB2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使CAB，DAB，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：(1)若点G是的中点，证明：FG平面ACD；(2)求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：连接OF，FG，OG，F，O是BC，AB的中点，FOAC，FO平面ACD，AC平面ACD，FO平面ACD，DAB，且G是BD弧的中点，BOG，则ADOG，OG平面ACD，AD平面ACD，OG平面ACD，FOOGO，FO，OG平面FOG，平面FOG平面ACD，又FG平面FOG，FG平面ACD(2)如图，设H为弧DG的中点，建立以O为坐标原点，OH，OB，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图；则A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(，0)，G(，0)，设平面ACD的法向量为m(x，y，z)，则(0,1,1)，(，0)，则由myz0，mxy0，得，令y，则m(1，)，同理可得平面BCD的法向量为n(，1,1)，则cosm，n，即平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值是.能力提升组11(导学号14577727)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是()A. B.C. D.解析：过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y，轴以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，B(2，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，点A1到平面DBC1的距离d.故选A.12(导学号14577728)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：A如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A，B1.设AB1与平面ACC1A1所成的角为，EB1为平面ACC1A1的法向量则sin |cos，|，故选A.13(导学号14577729)如图，已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为_.解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件得，A(1,0,0)，E，F，.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的二面角为，由，得.令y1，则n(1,1，3)又平面ABC的一个法向量为m(0,0，1)，则cos |cos n，m|，所以tan .答案：14(导学号14577730)(2018汕头市二模)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B12，AA1h，E为BB1的中点(1)若h2，请画出该正三棱柱的正(主)视图与侧(左)视图(2)求证：平面A1EC平面AA1C1C；(3)当平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为45时，求该正三棱柱外接球的体积解：(1)ABC是边长为2的正三角形，ABC的高为，又h2，正视图为边长为2的正方形，左视图为边长为2和的矩形，作出正(主)视图与侧：(左)视图如下：(2)证明：连接AC1交A1C于F，取A1C1的中点M，连接EF，FM，MB1.四边形ACC1A1是矩形，F是AC1的中点EFMB1.A1B1C1是正三角形，MB1A1C1.AA1平面A1B1C1，MB1平面A1B1C1，AA1MB1，又AA1A1C1A1，MB1平面ACC1A1，又MB1EF，EF平面ACC1A1，又EF平面A1EC，平面A1EC平面AA1C1C.(3)以M为原点，以MC1，MB1，MF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Mxyz，如图所示，则A1(1,0,0)，E(0，)，C(1,0，h)，(1，)，(2,0，h)设平面A1EC的法向量为n(x，y，z)，则，令z1得n(，0,1)又AA1平面A1B1C1，m(0,0,1)是平面A1B1C1的一个法向量平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为45，|cosm，n|，h2，设A1B1C1的中心为N，则N(0，0)，正三棱柱外接球的球心为P(0，1)，外接球的半径rPA1，外接球的体积Vr3.
展开阅读全文