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考点规范练37空间几何体的表面积与体积一、基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.2.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A.22B.1C.2D.3答案C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为ABC所在圆面的直径,所以BAC=90,ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在RtOMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以x22+x22=1,即x=2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=21=2.4.(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()A.3+42B.4(+2+1)C.4(+2)D.4(+1)答案A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱,圆柱的底面半径为1,高为2,其表面积为S1=1222+12=3,下半部分为正四棱锥,底面棱长为2,斜高为2,其表面积S2=41222=42,所以该几何体的表面积为S=S1+S2=3+42.5.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,ABC=90.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2B.4C.8D.16答案D解析由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,则这个球的表面积为S=422=16.故选D.6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,142R=8,R=16.体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米约为32091.6222(斛).7.(2018江苏,10)如图,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43解析由题意知,多面体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V正四棱锥=213(2)21=43.8.已知棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是1243=32.9.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.答案12解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为23,所以球O的直径是23,半径为3,球O的表面积为4(3)2=12.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案124解析由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,MN=12,NP=1.SMNP=12121=14.点A1到平面MNP的距离为AM=12,VP-A1MN=VA1-MNP=131412=124.11.(2018重庆二诊)已知边长为2的等边三角形ABC的三个顶点A,B,C都在以O为球心的球面上,若球O的表面积为1483,则三棱锥O-ABC的体积为.答案333解析设球的半径为R,则4R2=1483,解得R2=373.设ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r,则r=23322=233.故球心到ABC所在平面的距离为d=R2-r2=373-43=11,即为三棱锥O-ABC的高,所以VO-ABC=13SABCd=13342211=333.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为3、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为3,所以V=113=3.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2(11+13+12)=6+23.二、能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32答案A解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,所以SAGD=SBHC=12221=24.所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=1324122+241=23.14.(2018湖南衡阳一模)刍薨,中国古代算术中的一种几何形体,九章算术中记载“刍薨者,下有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,若用茅草搭建它,则覆盖的面积至少为()A.65B.75C.85D.95答案C解析由题意,得茅草覆盖面积即为几何体的侧面积.由题意可知,该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底长为2,下底长为4,高为22+12=5;等腰三角形的底边长为2,高为22+12=5.故侧面积为S=212(2+4)5+21225=85.即需要茅草覆盖的面积至少为85,故选C.15.(2018全国,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543答案B解析由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长为a,则S=12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223a=234.设球的半径为R,如图,OO1=R2-r2=42-(23)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=13SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选B.16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即9779也正确.三、高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.1答案C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的直径,所以SAC=SBC=90.又ASC=BSC=30,又SC为公共边,所以SACSBC.因为ADSC,所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABDSC.因为在RtSAC中,ASC=30,SC=4,所以AC=2,SA=23.由于AD=SACASC=3.同理在RtBSC中也有BD=SBCBSC=3.又AB=3,所以ABD为正三角形.所以VS-ABC=13SABDSC=1312(3)2sin604=3,故选C.
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