2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.2 综合法和分析法导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.5.2综合法和分析法1.理解综合法和分析法的概念.2.会用综合法、分析法证明较为简单的不等式.自学导引1. 综合法：就是要从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题.2.分析法：从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实).基础自测1.设a，bR，A，B，则A、B的大小关系是()A.aB B.ABC.AB D.A，只须证ab2ab，即20，a，bR，20，AB，选C.答案C2.若1x10，下面不等式中正确的是()A.(lg x)2lg x2lg(lg x)B.lg x2(lg x)2lg(lg x)C.(lg x)2lg(lg x)lg x2D.lg(lg x)(lg x)2lg x2解析1x10，0lg x1，lg(lg x)x，lg x2lg x(lg x)2，lg x2(lg x)2lg(lg x)，选D.答案D3.已知a，b，m都是正数，在空白处填上适当的不等号.(1)当a_b时，(2)当a_b时，.解析当ab时，才有，当a8.证明x、y、z是互不相等的正数，且xyz1.1，11又0x1.同理1，18.知识点2分析法证明不等式【例2】 已知函数f(x)lg，x，若x1，x2且x1x2，求证：f(x1)f(x2)f.证明要证明原不等式，只需证明.事实上：0x1，x20，.即有lglg，故f(x1)f(x2)f.反思感悟：在分析法中，每次所寻求的应是使上一个结论成立的充分条件或充要条件，若只找到结论成立的必要条件则不一定能得到相应的结论.从而造成证明上的逻辑错误.2.若a、bR，且ab1，求证： 2.证明 2ab12 4 1ab1ab.ab成立.原不等式成立.知识点3综合利用综合法与分析法证明不等式【例3】 在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1).证明由条件，得消去x，y，即得2a，且有a0，b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)只需证a1要证2abc，而2a，只需证bc即b3c3bc(bc)，b2c2bcbc(bc)20，上式显然成立(a1)2(b1)(c1)得证.反思感悟：综合法和分析法是思路完全相反的两种方法.分析法易于探求解题思路.综合法易于表述，在证明较复杂的不等式时，有时把分析法和综合法结合起来使用.3.已知a、b是不等的正数，且a3b3a2b2.求证：1aba2abb2ab，且ab0，两边同除以ab，得ab1.欲证ab，即证3(ab)0，可证3(ab)24(ab)，而aba2abb2，即3(a22abb2)0.(ab)20，ab，则不等式成立，故ab成立.1ab.课堂小结用综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别，一个是“执因索果”，而另一个则是“执果求因”.在实际解题中，常用分析法思维，用综合法表达.对于比较复杂的问题，常常把分析法和综合法结合起来使用.随堂演练1.若a，b，cR，且abbcac1，则下列不等式成立的是() A.a2b2c22 B.(abc)23C.2 D.abc(abc)解析(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3(abacbc)3，故应选B.答案B2.已知0a10 B.logablogba20C.logablogba20 D.logablogba20解析0a1b，则logab0，logba0，且logab，logablogba2，logablogba2220，选D.答案D3.求证：2.证明2()2(2)21021042210，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.基础达标1.a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 B.a2b22abC.ab D.2解析由(0，)且(0，)，得2 ，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案D2.设a、b、x、y均为正数，且a、b为常数，x、y为变量，若xy1，则的最大值为()A. B.C. D.解析，故选B.答案B3.已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y|解析由已知3xxyz0，3z0，zxz.答案C4.已知x0，y0，M，N，则M、N的大小关系是_.解析NNM0，NM.答案NM5.设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是_.解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20a3b3c33abcabc0.答案abc06.已知|a|1，|b|1，求证：1.证明要证1，只需证|ab|1ab|，也只需证a22abb20，也就是(1a2)(1b2)0，|a|1，|b|1，最后一个不等式显然成立.因此原不等式成立.综合提高7.如果0mba，那么()A.coscoscosB.coscoscosC.coscoscosD.coscoscos解析用分析法易证(或用特值法)，01.由ycos x在上是减函数可得.答案A8.设0ab，ab1，下列不等式正确的是()A.b2aba2b2B.2aba2b2bC.2abba2b2D.2aba2b2bc，则与的大小关系为_.解析ab0，bc0，.答案10.设abc，且恒成立，则m的取值范围是_.解析abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，m(，4.答案(，411.已知实数a，b，c，d，且a2b21，c2d21，求证：|acbd|1.证明方法一：(分析法)要证|acbd|1，只需证明(acbd)21.即证a2c22abcdb2d21.a2b21，c2d21.上式即证a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)，即证(adbc)20.a，b，c，d都是实数，(adbc)20成立.|acbd|1.方法二：(综合法)a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21，|acbd|ac|bd|1.方法三：(三角换元法)a2b21，c2d21，可令asin ，bcos ，csin ，dcos ，|acbd|sin sin cos cos |cos()|1.12.设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)，得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.