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专题04 不等式的证明知识通关1基本不等式（1）定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立（2）定理2（基本不等式）：如果a，b0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）定理3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（4）算术平均几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=an时，等号成立.2柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则，当且仅当ad=bc时，等号成立.（2）柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则，当且仅当是零向量或是零向量或存在实数k使=k时，等号成立.（3）二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2R，那么.（4）一般形式的柯西不等式：设是实数,则()()，当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立.3不等式证明的方法（1）比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据abab0 abab0abab0b0，1ab b0，1ab（2）综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫分析法即“执果索因”的方法（3）反证法和放缩法反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.基础通关1比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.2综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”解题时，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键3当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆题组一 比较法证明不等式作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号【例1】已知函数，M为不等式的解集.（1）求M；（2）证明：当a，b时，.【解析】（1）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（2）由（1）知，当时，从而，因此题组二 分析法证明不等式分析法证明的思路是“执果索因”，具体过程如下：得到一个明显成立的条件.【例2】已知函数.（1）求不等式的解集A；（2）若，试证明：.【解析】（1）若，则，解得，无解；若，则，解得，故；若，则，解得，故.综上所述，不等式的解集A为.题组三 反证法证明不等式反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的【例3】设a0，b0，且ab.证明：（1）ab2；（2）a2a2与b2b0，b0，得ab1.（1）由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.（2）假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立.能力通关1使用基本不等式时易忽视等号成立的条件利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法2个别题目也可用柯西不等式来证明，注意柯西不等式使用的条件.基本不等式综合法证明不等式【例1】已知且证明：（1）；（2）【解析】（1）， （2）因为所以即即.【例2】已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若（，），求证：.【解析】（1）由于所以的最大值为，即.（2）由（1）得.因为，所以，当且仅当，时，等号成立.柯西不等式及其应用【例3】已知函数,且对任意,都有.（1）求及的值；（2）若, 且,求的最大值及的最大值.【解析】（1）,其中取等号的条件是,即, 取等号的条件是,所以,.【名师点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用,基本不等式及柯西不等式的应用,意在考查分类讨论思想方法,以及分析问题、解决问题的能力不等式证明的综合问题【例4】已知在中，角，所对的边分别为，（1）证明：；（2）若，且恒成立，求实数的最小值【解析】（1）因为，为正实数，所以由均值不等式可得，即，所以，又，所以，当且仅当时，取等号【例5】已知函数.（1）解不等式：；（2）若函数的最小值为，正实数满足，证明：.【解析】（1）依题意，；当时，原式化为，解得；当时，原式化为，解得，故不等式无解；当时，原式化为，解得.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意，可得，所以当时，函数有最小值10，即.故，当且仅当时等号成立，此时.高考通关1已知函数f(x)|x1|.（1）求不等式f(x)|2x1|1的解集M；（2）设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)【解析】（1）当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1.（2）因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以，要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立.2已知为任意实数.（1）求证：;（2）求函数的最小值.【解析】（1）.因为,所以.（2）=,即.3设函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，求证：.【解析】（1）当a=2时，不等式为， 若，则，解得；若，则，即，无解；若，则，解得.所以不等式的解集为.（2）即，解得，而的解集是，所以，解得a=1，所以，所以，当且仅当，即时取等号. 4已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.【解析】（1）因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.5已知不等式对任意实数恒成立（1）求实数的最小值；（2）若，且满足，求证：【解析】（1）不等式等价于令，则不等式对任意实数恒成立等价于而作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，即，所以，即，故（2）由（1）知，其中，所以，所以原不等式等价于下面证明不等式：因为（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）三式相加得：（当且仅当时取等号），所以，即【名师点睛】本题考查含有绝对值的不等式恒成立问题、不等式的证明、函数图象的应用，意在考查推理论证能力、运算求解能力
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