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压轴小题突破练(2)1在四面体ABCD中，二面角ABCD为60，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为，则()A的最大值为60B的最小值为60C的最大值为30D的最小值为30答案A解析过A作AH平面BCD于点H，AGBC于点G，连接PH，GH，则易知AGH为二面角ABCD的平面角，即AGH60，APH为PA与平面BCD所成的角，则tanAPH.因为AH为定长，所以当PH取得最小值时，APH取得最大值，易知当点P与点G重合时，PH取得最小值，所以maxAGH60，故选A.2已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1PA1Qx,0x1，设平面MEF平面MPQl，则下列结论中不成立的是()Al平面ABCDBlACC平面MEF与平面MPQ垂直D当x变化时，l是定直线答案C解析连接BD，A1D，A1B，AC1，显然平面MEF平面A1DB，设A1BMPH，A1DQMG，连接HG，则lHG，又HG平面ABCD，所以l平面ABCD，ACBD.又HGlBD，故ACl，当P，Q分别与B1，D1重合时，平面MEF平面MPQ，又0x1，故平面MEF与平面MPQ不垂直无论x怎么变化，l是过M点与EF平行的定直线3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是A1C1上任意一点，记平面PAB，平面PBC与下底面所成的二面角分别为，则tan()的最小值为()ABCD答案C解析如图，作PP1AC，易知，PP1底面ABCD，作PMAB，PNBC，连接MP1，NP1，易证得PMP1，PNP1.设MP1x，则NP11x，tan，tan，tan ().0x1，当x时，tan()有最小值，故选C.4已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是B1C1的中点，若正方体ABCDA1B1C1D1的内切球与直线EF交于点G，H，且GH3，若点Q是棱BB1上一个动点，则AQD1Q的最小值为()A6B3C6D6答案C解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，内切球球心为O，由题意可得内切球半径r.OEOFa，EFa，取EF中点P，则OPa，所以cosPOG，所以GOH，OG，a3，把平面DD1B1B与平面AA1B1B展成一个平面，则A，Q，D1共线时AQD1Q最小，最小值为D1A6.5已知三棱锥DABC的所有顶点都在球O的球面上，ABBC2，AC2，若三棱锥DABC体积的最大值为2，则球O的表面积为()A8B9C.D.答案D解析由ABBC2，AC2，可得AB2BC2AC2.所以ABC为直角三角形，且AC为斜边所以过ABC的截面圆的圆心为斜边AC的中点E.当DE平面ABC，且球心O在DE上时，三棱锥DABC的体积取最大值因为三棱锥DABC体积的最大值为2，所以SABCDE2，即22DE2，解得DE3.设球的半径为R，则AE2OE2AO2，即()2(3R)2R2，解得R.所以球O的表面积为4R242.6如图，ABB，直线AB与平面所成的角为75，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面交于点P，且满足PAB45，则点P在平面内的轨迹是()A双曲线的一支B抛物线的一部分C圆D椭圆答案D解析用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线此题中平面上的动点P满足PAB45，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面所成的角为75，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义故可知动点P的轨迹是椭圆7在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足APDMPC，则三棱锥PBCD体积的最大值是()A36B12C24D18答案B解析AD平面D1DCC1，ADDP，同理BC平面D1DCC1，则BCCP，APDMPC，PADPMC，AD2MC，PD2PC，下面研究点P在面DCC1D1内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0,0)，C(6,0)，C1(6,6)，设P(x，y)，PD2PC，2，化简得(x8)2y216(4x6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6,2)，三棱锥PBCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6,2)时，CP2，棱锥的高最大，此时三棱锥PBCD的体积V18212，故选B.8如图，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使ADC，则下列结论不正确的是()AABCDBBACC二面角ABCD的平面角的正切值为D异面直线AC与BD所成角的大小为答案C解析因为CDBD且ADCD，所以CD平面ABD，因此CDAB，故A正确；因为ABCD，ADAB，所以AB平面ACD，因此ABAC，即BAC，故B正确；取BD的中点E，连接AE，易知平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AEBD，所以AE平面BCD.过E作EFBC交BC于点F，连接AF，所以AFE为二面角ABCD的平面角，所以tanAFE，故C错取AB，BC，AD的中点分别为M，N，P，连接MN，MP，NP，则异面直线AC与BD所成的角即为NMP(或其补角)，易知MPBD，MNAC，易求得NP，故MNP为等边三角形，所以异面直线AC与BD所成角的大小为，故D正确9如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线AC1上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设APx，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是()答案B解析球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：当x1时；当x时；当x时当x1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为321，且为函数f(x)的最大值；当x时，以A为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为中的一半；当x时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为321，对照选项可得B正确10在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中()A点A与点C在某一位置可能重合B点A与点C的最大距离为ABC直线AB与直线CD可能垂直D直线AF与直线CE可能垂直答案D解析若点A与点C在某一位置重合，则在ABE中，BEAEAB，即有BEAEAB，则BE，AE，AB三边不构成三角形，故A错在正方形ABCD中，设AC与BF，ED分别交于点M，N，则AMNMNCAB，在翻折的过程中，总有ACAMMCAMMNNCAB，故B错因为BFDE，ABFCED，所以在翻折的过程中，AB与CE不平行，过点B作BPCE，且BPCE，则直线BP，BA是相交直线，由四边形BECP为平行四边形得CPBE，且CPBE，从而有CPDF，且CPDF，所以四边形CDFP为平行四边形，故FPCD，故若ABCD，则FPAB，又CDCE，故FPPB，从而有FP平面ABP，所以FPAP，则在FPA中，AFFP，但AFCDFP，矛盾，故C错由上知若直线AF与直线CE垂直，则AFBP，又FPPB，从而有BP平面APF，所以BPAP，故只需APAB即可，即D正确，故选D.11如图，已知ABC是等腰直角三角形，C，点M在ABC外，且MB1，MC2，则MA的最大值是_答案21解析如图，以C为原点，MC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M(2,0)设A(x，y)，则由ACBC且ACBC可得B(y，x)，又MB1，则(y2)2x21，即知点A的轨迹是以P(0,2)为圆心，1为半径为圆，则AMMPPA21.12如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD分别交于M，N两点，设BMx，x0,1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDDB；直线AC平面MENF始终成立；四边形MENF周长Lf(x)，x0,1是单调函数；四棱锥CMENF的体积Vh(x)为常数以上结论正确的是_答案解析因为EFBB，EFBD，BBBDB，所以EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB成立；因为ACEF，所以直线AC平面MENF始终成立；因为MF，f(x)4，所以f(x)在0,1上不是单调函数；VCMENFVFMCEVFCNE，故h(x)为常数13正四面体ABCD的棱长为6，其中AB平面，E，F分别为线段AD，BC的中点，当正四面体以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影长的取值范围是_答案3,3解析如图，取AC的中点G，连接GE，GF，EF，结合已知可得GFAB，在正四面体中，ABCD，又GECD，GEGF，EF2GE2GF2，当四面体绕AB旋转时，GF平面，GE与GF的垂直性保持不变，显然当CD与平面垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面上射影E1F1的长取得最小值3.当CD与平面平行时，GE在平面上的射影长取得最大值3，E1F1取得最大值3，所以射影E1F1长度的取值范围是3，314如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_答案解析AD平面ABC，DAAB，ADBC，AEDB，又ADAB2，DE.又BCAC，ACADA，BC平面ACD，平面BCD平面ACD，AFDC，平面BCD平面ACDCD，AF平面ACD，AF平面BCD，AFBD，又AEBD，AFAEA，BD平面AEF，由AFEF，得AF2EF2AE222AFEF，即AFEF1，SAEF，当且仅当AFEF1时“”成立，三棱锥DAEF体积的最大值为.15.如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_答案解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设O是AC中点，由已知得AC，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A，B，C，作DHAC于H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH，因此可设D，则，与平行的单位向量为n(0,1,0)，所以cos|cos，n|，所以cos1时，cos取最大值.16已知等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥ADECB的外接球的表面积为_答案10解析因为ADE为等腰直角三角形，所以ADE的外接圆的圆心在DE上，即平面ADE截四棱锥ADECB的外接球所得的截面圆的圆心在DE上，即在平面DECB内，所以等腰梯形DECB的外接圆的半径即为四棱锥ADECB的外接球的半径以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则易得C(，0)，E，因为四边形DECB为等腰梯形，所以其外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，设其坐标为P(0，y)，则由|PC|PE|得，解得y，所以等腰梯形DECB的外接圆的半径r|PC|，所以四棱锥ADECB的外接球的表面积为4r210.17如图，矩形ABCD中，AB1，BC，将ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为_答案解析如图1，过点A作AOBD，垂足为点O，过点C作直线AO的垂线，垂足为点E，则易得AOOE，CE1.在图2中，由旋转的性质易得点A在点O为圆心，以AO为半径的圆上运动，且BD垂直于圆O所在的平面，又因为CEBD，所以CE垂直于圆O所在的平面，设当A运动到点A1处时，CA1，当A运动到点A2处时，CA2，则有CEEA1，CEEA2，则易得EA1，EA2，则易得OEA2是以O为直角顶点的等腰直角三角形，在OEA1中，由余弦定理得cosEOA1，所以EOA1120，所以A1OA230，所以点A所形成的轨迹为半径为OA，圆心角为A1OA230的圆弧，所以运动轨迹的长度为.
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