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综合能力训练第卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=xx-1232,B=x|y=lg(4x-x2),则AB等于()A.(0,2B.-1,0)C.2,4)D.1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,若OAOB,则OAB的面积为()A.1B.52C.5D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bc0,b0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.52B.62C.103D.27.已知函数f(x)=sin(x2),-1x0,ex-1,x0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-22C.1,-22D.1,228.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|1,则a2+b2+c2100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|1,则a2+b2+c2100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|1,则a2+b2+c2100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|1,则a2+b2+c2100第卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,bR,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4cos-6+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件y3x-2,x-2y+10,2x+y8,则yx-1的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN*).(1)求a2,a3,并证明an-n是等比数列;(2)设bn=an2n-1,求数列bn的前n项和Sn.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(0b0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:|NF1|MF1|为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a0).(1)若f(x)0对x(0,+)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:nN*,e1+1n21+2n21+nn20时,f(x)0,f(x)0.当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0恒成立,g(x)在区间(0,+)上是增函数.2log25.13,120.82,20.8log25.13.结合函数g(x)的性质得bac.故选C.4.C解析 由三视图可知该几何体为直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.5.B解析 由题意得,输出的S为数列1(2n-1)(2n+1)的前3项和,而1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即Sn=121-12n+1=n2n+1.故当输入n=3时,S3=37,故选B.6.A解析 设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1,b2a2=14,e2=1+b2a2=54.e=52.故选A.7.C解析 f(1)=e1-1=1,f(a)=1.若a(-1,0),则sin(a2)=1,a=-22.若a0,+),则ea-1=1,a=1.因此a=1或a=-22.8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则1+b=a,1-b=0,所以a=2,b=1,即ab=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rC5r25-rx5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)3C5325-3=-22C52=-40.11.3(2-3)解析 AO1=3R1,C1O2=3R2,O1O2=R1+R2,(3+1)(R1+R2)=3,R1+R2=33+1,球O1和O2的表面积之和为4(R12+R22)42R1+R222=2(R1+R2)2=3(2-3).12.2解析 4cos-6+1=0,展开得23cos +2sin +1=0,直线的直角坐标方程为23x+2y+1=0.=2sin 两边同乘得2=2sin ,圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.圆心到直线的距离d=|230+21+1|(23)2+22=34r=1.直线与圆相交.直线与圆公共点的个数为2.13.1解析 由约束条件y3x-2,x-2y+10,2x+y8作出可行域如图,联立x-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),yx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=2-03-1=1.14.解析 由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.15.解 (1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.16.解 (1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2an-1-(n-1).an-nan-1-(n-1)=2(n2,nN*),且a1-1=1,an-n是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1,即an=2n-1+n,bn=an2n-1=1+n2n-1.设cn=n2n-1,且前n项和为Tn,则Tn=120+221+322+n2n-1,12Tn=121+222+323+n2n,-,得12Tn=1+12+122+123+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-2+n2n.故Tn=4-2+n2n-1,Sn=n+4-2+n2n-1.17.解法一 (1)证明:如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FPAD1,所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,且EF=12BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQBD,且PQ=BD,从而EFPQ,且EF=12PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因为BQ=DP=,BE=DF=1,所以EQ=FP=1+2,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接EM,FN,则由EFMN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-222=2+12,OG2=1+(2-)2-222=(2-)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=122,故存在=122,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二 以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,),FE=(1,1,0).(1)证明:当=1时,FP=(-1,0,1).因为BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由FEn=0,FPn=0可得x+y=0,-x+z=0.于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=122.故存在=122,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=C31C41+C32C102=13.所以,事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C32+C32+C42C102=415,P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715,P(X=2)=C31C41C102=415.所以,随机变量X的分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0415+1715+2415=1.19.(1)解 依题意,2c=a=4,c=2,b=23.椭圆C的标准方程为x216+y212=1.(2)解 由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为x0x16+y0y12=1,直线F1P的斜率kF1P=y0x0+2,则直线MF1的斜率kMF1=-x0+2y0,直线MF1的方程为y=-x0+2y0(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明 依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),点N在切线MP上,由式得yN=3(x0+8)2y0,点M在直线MF1上,由式得yM=6(x0+2)y0,|NF1|2=yN2=9(x0+8)24y02,|MF1|2=(-2)-(-8)2+yM2=36y02+(x0+2)2y02,故|NF1|2|MF1|2=9(x0+8)24y02y0236y02+(x0+2)2=116(x0+8)2y02+(x0+2)2,注意到点P在椭圆C上,即x0216+y0212=1,于是y02=48-3x024,代入式并整理得|NF1|2|MF1|2=14,故|NF1|MF1|的值为定值12.20.(1)解 f(x)=ln(1+x)+a2x2-x,其定义域为(-1,+),f(x)=11+x+ax-1=x(ax+a-1)1+x.当a=0时,f(x)=-x1+x,当x(0,+)时,f(x)0,则f(x)在区间(0,+)内单调递减,此时,f(x)f(0)=0,不符合题意.当0a0,当x0,1-aa时,f(x)0,则f(x)在区间0,1-aa内单调递减,此时,f(x)0,则f(x)在区间(0,+)内单调递增,此时,f(x)f(0)=0,符合题意.当a1时,令f(x)=0,得x1=0,x2=1-aa0,则f(x)在区间(0,+)内单调递增,此时,f(x)f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为1,+).(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)0对x(0,+)都成立,即ln(1+x)x对x(0,+)都成立,ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn21n2+2n2+nn2,即ln1+1n21+2n21+nn21+2+nn2=n+12n.由于nN*,则n+12n=12+12n12+121=1.ln1+1n21+2n21+nn21.1+1n21+2n21+nn20对x(0,+)都成立,即x-12x2ln(1+x)对x(0,+)都成立,1n2+2n2+nn2-1212n4+22n4+n2n4ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn2,即n(n+1)2n2-12n(n+1)(2n+1)6n4ln1+1n21+2n21+nn2,得6n3+4n2-3n-112n3ln1+1n21+2n21+nn2.由于nN*,则6n3+4n2-3n-112n3=6n3+(3n2-3n)+(n2-1)12n36n312n3=12.12ln1+1n21+2n21+nn2.e1+1n21+2n21+nn2.e1+1n21+2n21+nn2e.
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