（天津专版）2018年高考数学 母题题源系列 专题12 直线与圆有关计算 文.doc

母题十二 直线与圆有关计算 母题原题 1 2018 天津 文 12 在平面直角坐标系中 经过三点 0 0 1 1 2 0 的圆的方程为 答案 20 xy 名师点睛 求圆的方程 主要有两种方法 1 几何法 具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理 如 圆心在过切点且与切线垂直的直线 上 圆心在任意弦的中垂线上 两圆相切时 切点与两圆心三点共线 2 待定系数法 根据条件设出圆的方程 再由题目给出的条件 列出等式 求出相关量 一般地 与圆心和 半径有关 选择标准式 否则 选择一般式 不论是哪种形式 都要确定三个独立参数 所以应该有三个独立 等式 母题原题 2 2017 天津 文 12 设抛物线 24yx 的焦点为 F 准线为 l 已知点 C 在 l 上 以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A 若10FAC 则圆的方程为 答案 22 3 1 解析 设圆心坐标为 m 则 0 A 焦点 1 0 F 1 0 ACF 21cosCm 3 由于圆 C与 y轴得正半 轴相切 则取 3 所求圆得圆心为 1 3 半径为 1 所求圆的方程为 22 1x 考点 1 抛物线的方程 2 圆的方程 名师点睛 本题设计比较巧妙 考查了圆 抛物线的方程 同时还考查了向量数量积的坐标表示 本题只有 一个难点 就是 012CAF 会不会用向量的坐标表示 cosCAF 根据图象 可设圆心为 1 Cm 那 么方程就是 2xym 若能用向量的坐标表示角 即可求得 m 问题也就迎刃而解了 母题原题 3 2016 天津 文 12 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上 点 0 5 M在圆 C 上 且圆心到直线 20 xy 的距离为 45 则圆 C 的 方程为 考点 直线与圆位置关系 名师点睛 求圆的方程有两种方法 1 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 若已知条件与圆的圆心和半径有关 则设圆的标准方程 列 出关于 a b r 的方程组求解 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径 则选择圆的一般方程 列出关于 D E F 的方程组求解 2 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆的关系等求出圆心 半径 进而写出圆的标准方程 考点 直线方程 圆的方程 直线与直线 直线与圆 圆与圆的位置关系 平面向量的运算 名师点睛 直线与圆中的三个定理 切线的性质定理 切线长定理 垂 径定理 两个公式 点到直线距离公 式及弦长公式 其核心都是转化到与圆心 半径的关系上 这是解决直线与圆的根本思路 命题意图 直线与圆是高中数学的 C 级知识点 是高中数学中数形结合思想的典型体现 命题规律 近年来 高考对直线与圆的命题 既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化 又保持与函数或不等 式或轨迹相结合的命题思路 呈现 出 综合应用 融会贯通 的特色 充分彰显直线与圆的交汇价值 答题模板 解答本类题目 以 2016 年试题为例 一般考虑如下三步 第一步 利用待定系数法求圆标准方程 第二步 根据圆中垂径定理揭示等量关系 第三步 利用圆与圆位置关系 坐标表示逐层揭示刻画多元关系 方法总结 1 以动点轨迹为圆考查直线与圆 圆与圆位置关系 突出考查方程思想和解析法 2 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式 注重考查圆相关几何性质 3 利用数形结合揭示与刻画直线与圆 圆与圆位置关系 重点考查直线与圆的综合应用 以及数形结合的数 学思想 1 2018 天津静海县一中期末考 已知圆 220 xya 截直线 20 xy 所得弦长为 4 则实 数 a的值是 A 3 B 2 C 1 D 4 答案 C 2 2018 天津七校联考 设点 P是函数 241yx 的图象上的任意一点 点 2 3QaR 则PQ 的最大值为 A 752 B 52 C 75 D 答案 B 解析 函数 241yx 的图象为半圆 2140 xy Q 在直线 3 602 上 所以 PQ的最大值为圆心到直线距离加半径 即 1625 选 B 名师点睛 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合 求解 2 与圆上点 xy有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 ybuxa 型的最值问题 可转化为过点 ab 和点 的直线的斜率的最值问题 形如 taxb 型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问 题 形如 22xayb 型的最值问题 可转化为动点到定点 的距离平方的最值问题 3 2018 天津河西区模拟 圆 4x与圆 260 xy 的公共弦长为 A 1 B 2 C 3 D 3 答案 D 解析 两圆方程相减 得公共弦所在直线方程为 1y 圆 24xy 的半径 2R 圆心 0 到直线1y 的距离 d 则弦长 23lRd 故选 D 4 2018 天津一中模拟五 已知圆 与双曲线 的一条渐近 线相切 则双曲线的离心率为 A B C D 答案 B a b c 2 a2 b2 4b2 e 故选 B 名师点睛 本题主要考查了双曲线的简单性质 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式等 考查了学生 数形结合的思想的运用 5 2018 天津静海县一中期末考 若圆 C1 x2 y2 1 与圆 C2 x2 y2 6 x 8 y m 0 外切 则 m A 9 B 19 C 21 D 11 答案 A 解析 10 1r 23 4 半径为 25m 圆心距为 5 由于两圆外切 故 125 解得 9m 所以选 A 6 2018 天津七校期中联考 已知点 4 2 0 ab 在圆 2 4Cxy 和圆 22 Mxy 的公共弦上 则 1 的最小值为 A 1 B C D 8 答案 D 名师点睛 在利用基本不等式求最值时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 即条件要求中字母为正数 定 不等式的另一边必须为定值 等 等号取得的条件 的条件才能应用 否则会出现错误 7 2018 天津河东区期中考 已知圆 22 14Cxy 则其圆心和半径分别为 A 1 2 4 B 1 2 C D 1 2 4 答案 C 解析 由圆的标准方程 22xaybr 得圆心为 半径 r 故选 C 8 2018 天津部分区二模 已知直线 恒过定点 且以 为圆心 5 为半径的圆与直线 相交于 两点 则弦 的长为 答案 故答案为 2 名师点睛 当直线与圆相交时 弦长问题属常见的问题 最常用的手法是弦心距 弦长一半 圆的半径构成 直角三角形 运用勾股定理解题 9 2018 天津十二二模 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单 位 已知直线极坐标方程为 它与曲线 为参数 相交于两点 则 答案 2 解析 分析 先利用直角坐标与极坐标间的关系 将极坐标方程为化成直角坐标方程 再将曲线 的参数方程 化成普通方程 最后利用直角坐标方程的形式 利用垂径定理及勾股定理 由圆的半径 及圆心到直线的距离 即可求出 的长 详解 利用 进行化简 为参数 相消去 可 得圆的方程为 得到圆心 半径为 圆心 到直线 的距离 线段 的长为 故答案为 名师点睛 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法 求圆的弦长有两种方法 一是利用弦长公 式 结合韦达定理求解 二是利用半弦长 弦心距 圆半径构成直角三角形 利用勾股定理 求解 10 2018 天津滨海新区模拟 设直线 2yxa 与圆 2 20Cxya a 相交于 AB两点 若23AB 则 a 答案 2 名师点睛 直线与圆相交 连接圆心与弦中点的直线垂直于弦 所以关于弦的问题 利用这个垂直构成直角 三角形运算 11 2018 天津静海一中期末考 方程 24xk 有两个不等实根 则实数 k的取值范围是 答案 42 0 3 解析 2yx 为半圆 2ykx 为过点 1 的直线 由图可知 直线 2ykx 即 20kxy 21kd 40 3k 过 2 0 时 3 过 0时 所以 的取值范围是 2 12 2018 天津一中模拟二 圆心在直线 4yx 且与直线 10 xy 相切于点 3P 的圆的标准方程 为 答案 22148xy 解析 圆心在直线 y 4x 上 设圆心 C 为 a 4a 圆与直线 x y 1 0 相切于点 P 3 2 则 kPC 43a 1 a 1 即圆心为 1 4 r CP 22 31 4 2 圆的标准方程为 x 1 2 y 4 8 故答案为 x 1 2 y 4 8 名师点睛 此题考查了直线与圆的位置关系 涉及的知识有 点到直线的距离公式 圆的标准方程 以及直 线的点斜式方程 当直线与圆相切时 圆心到切线的距离等于圆的半径 属于基础题 13 2018 天津七校联考 若圆 221 40CxyaaR 与圆 22 0CxybbR 恰有三条公切线 则 b 的最大值为 答案 6 解析 由题意得两圆相外切 即 122Cr 2201a 229 6abab 名师点睛 判断圆与圆的位置关系的常见方法 1 几何法 利用圆心距与两半径和与差的关系 2 切线法 根据公切线条数确定 3 数形结合法 直接根据图形确定 14 2018 天津十二重点中学模拟 已知圆 的圆心在 轴正半轴上 点 在圆 上 且圆心到直线 的距离为 则圆 的方程为 答案 15 2018 天津部分区期末 以点 0 b为圆心的圆与直线 21yx 相切于点 3 则该圆的方程为 答案 22754xy 解析 由题意设圆的方程为 22 0 xybr 根据条件得 213 5br 解得 72 5br 该圆的方程为 22754xy 答案 22754xy 16 2018 天津河东区期中 已知点 1P 在圆 22ab 的内部 则实数 a的取值范围为 答案 1 解析 因为 P 在圆 224xayb 内部 2214a 即 24a 即 2 即 1 17 2018 浙江台州模拟 若圆 关于直线 对称 则 的最小值为 由点 向圆所作两条切线 切点记为 当 取最小值时 外接圆的半径为 答案 即 化简得 则有 所以有 的最小值为 根据图形的特征 可知 PC 最短时 对应的 最小 而 PC 最短时 即为 C 到直线 的距离 即 此时 A B P C 四点共圆 此时 PC 即为外接圆的直径 所以其半径就是 名师点睛 该题考查的是有关直线与圆的问题 在解题的过程中 注意圆关于直线对称的条件 之后应用代 换 转化为关于 b 的二次式 利用配方法求得最小值 再者就是分析图形 得到什么情况下满足取最值 归纳 出外接圆的直径 从而求得半径 18 2018 江西师大附中三模 为等腰直角三角形 是 内的一点 且满足 则 的最小值为 答案 所以 MB 的最小值为 故答案为 名师点睛 1 本题主要考查轨迹方程和最值的求法 意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理 转化的能力 2 本题的解题关键有两点 其一是建立直角坐标系 其二是求出点 M 的轨迹方程