阶和二阶动态电路的时域分析.ppt

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析 一阶电路的零输入响应 零状态响应和全响应的概念及求解 重点 一阶电路的阶跃响应概念及求解 1 动态电路方程的建立及初始条件的确定 含有动态元件 电容和电感 的电路称动态电路 1 动态电路 7 1动态电路的方程及其初始条件 应用KVL和电容元件的VCR得 2 动态电路的方程 例 RC电路 一阶电路 含有一个动态元件电容或电感的线性电路 其电路方程为一阶线性常微分方程 称一阶电路 描述动态电路的电路方程为微分方程 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数 结论 戴维宁定理 诺顿定理 一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件 描述电路的方程是一阶线性微分方程 二阶电路 二阶电路中有二个动态元件 描述电路的方程是二阶线性微分方程 高阶电路 电路中有多个动态元件 描述电路的方程是高阶微分方程 换路 电路结构 状态发生改变 开关断开 闭合 参数改变 支路接入或断开等 换路时刻 t 0 t t0 换路前一瞬间 t 0 t t0 换路后一瞬间 t 0 t t0 当动态电路状态发生改变时 换路 需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态 这个变化过程称为电路的过渡过程 3 动态电路的特征 例 0 t i 过渡期为零 电阻电路 i 0 uC Us i 0 uC 0 k接通电源后很长时间 电容充电完毕 电路达到新的稳定状态 k未动作前 电路处于稳定状态 电容电路 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态 有一过渡期 uL 0 i Us R i 0 uL 0 k接通电源后很长时间 电路达到新的稳定状态 电感视为短路 k未动作前 电路处于稳定状态 电感电路 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态 有一过渡期 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L C 电路在换路时能量发生变化 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 动态电路的分析方法 根据KVL KCL和VCR建立微分方程 复频域分析法 时域分析法 求解微分方程 本章采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解 t 0 与t 0 的概念 认为换路在t 0时刻进行 0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间 0 0 t 4 电路的初始条件 t 0 时刻 电容的初始条件 当i 为有限值时 q 0 q 0 uC 0 uC 0 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 电荷守恒 结论 电感的初始条件 t 0 时刻 当u为有限值时 L 0 L 0 iL 0 iL 0 磁链守恒 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 结论 换路定律 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 换路定律反映了能量不能跃变 能量守恒 注意 求初始值的步骤 1 由换路前电路 稳定状态 求uC 0 和iL 0 2 由换路定律得uC 0 和iL 0 3 画0 等效电路 4 由0 电路求所需其他变量的0 值 b 电容 电感 用电压源 电流源 替代 a 换路后的电路 取0 时刻值 方向与原假定的电容电压 电感电流方向相同 电路初始值的确定 2 由换路定律 uC 0 uC 0 8V 1 由0 电路求uC 0 uC 0 8V 3 由0 等效电路求iC 0 例1 求iC 0 电容开路 电容用电压源替代 注意 解 iL 0 iL 0 2A 例2 t 0时闭合开关k 求uL 0 先求iL 0 应用换路定律 电感用电流源替代 解 电感短路 由0 等效电路求uL 0 注意 例3 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压 解 由0 电路得 由0 电路得 求k闭合瞬间流过它的电流值 解 确定0 值 给出0 等效电路 例4 ik 7 2一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零 仅由动态元件初始储能产生的电压和电流 1 RC电路的零输入响应 已知uC 0 U0 零输入响应 特征根 则 代入初始值uC 0 uC 0 U0 A U0 设 或 令 RC 称 为一阶电路的时间常数 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 连续函数 跃变 响应与初始状态成线性关系 其衰减快慢与RC有关 表明 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 RC 大 过渡过程时间长 衰减越慢 小 过渡过程时间短 衰减越快 电压初值一定 R大 C一定 i u R放电电流小 C大 R一定 W Cu2 2储能大 物理含义 电容电压衰减到原来电压36 8 所需的时间 工程上认为 经过3 5 过渡过程结束 10 3680 1350 050 007 U0U0e 1U0e 2U0e 3U0e 5 注意 能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设uC 0 U0 电容放出能量 电阻吸收 消耗 能量 能量守恒 例1 图示电路中的电容原充有24V电压 求S闭合后 电容电压和各支路电流随时间变化的规律 解 这是一个求一阶RC零输入响应问题 有 分流得 2 RL电路的零输入响应 特征方程 L R 0 特征根 代入初始值 A iL 0 I0 设 连续函数 跃变 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 表明 响应与初始状态成线性关系 其衰减快慢与L R有关 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 L大W LiL2 2起始能量大R小P Ri2放电过程消耗能量小 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 物理含义 电流初值iL 0 一定 能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设iL 0 I0 电感放出能量 电阻吸收 消耗 能量 例1 t 0时 开关S由1 2 求电感电压和电流 解 1 求iL 0 2 求 Req 则 t 0时的电路等效为下图 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数 小结 一阶电路的零输入响应和初始值成正比 衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 小结 RC L R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 RC电路 RL电路 动态元件初始能量为零 由t 0电路中外加激励作用所产生的响应 方程 7 3一阶电路的零状态响应 解答形式为 1 RC电路的零状态响应 零状态响应 非齐次方程特解 齐次方程通解 非齐次线性常微分方程 为电路的稳态解 的通解 设 设 的特解 全解 uC 0 A US 0 A US 由初始条件uC 0 0确定积分常数A 从以上式子可以得出 电压 电流是随时间按同一指数规律变化的函数 电容电压由两部分构成 连续函数 跃变 稳态分量 强制分量 暂态分量 自由分量 表明 响应变化的快慢 由时间常数 RC决定 大 充电慢 小充电就快 响应与外加激励成线性关系 能量关系 电容储存能量 电源提供能量 电阻消耗能量 电源提供的能量一半消耗在电阻上 一半转换成电场能量储存在电容中 表明 例 t 0时 开关S闭合 已知uC 0 0 求 1 电容电压和电流 2 uC 80V时的充电时间t 解 1 这是一个RC电路零状态响应问题 有 2 设经过t1秒 uC 80V 或 2 RL电路的零状态响应 已知iL 0 0 电路方程为 例1 t 0时 开关S打开 求t 0后iL uL的变化规律 解 这是RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 例2 t 0开关k打开 求t 0后iL uL及电流源的电压 解 这是RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 10 2A 5 一阶动态电路的零状态响应是由外加激励源引起的响应 小结 衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 RC L R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 换路后 且电源置零 RC电路 RL电路 7 4一阶电路的全响应 电路的初始状态不为零 同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应 以RC电路为例 电路微分方程 1 全响应 全响应 解答为 uC t uC uC RC uC 0 U0 uC 0 A US U0 A U0 US 由初始值定A 2 全响应的两种分解方式 全响应 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰 全响应 零状态响应 零输入响应 着眼于因果关系 便于叠加计算 零输入响应 零状态响应 三要素法求解一阶动态电路的全响应 只适用于求RC电路的uC t 和RL电路的iL t y 0 换路后的初始值 y 换路后的终止值 时间常数 一阶动态电路的三个要素 应用条件 1 电源是直流电源 2 电路时一阶动态电路 3 三要素法求解的特殊情况 零输入响应 y 0 零状态响应 y 0 0 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题 一阶动态电路三要素法的求解步骤 1 由换路前电路 稳定状态 求uC 0 和iL 0 2 由换路定律得uC 0 和iL 0 一 求初始值 1 换路后电路中动态元件断开 将剩余部分变换为戴维南等效电路 求uOC和Req 再将动态元件接上戴维南等效电路 令其中的电容开路 电感短路 即可求得y 2 直接用换路后的新稳态电路求解 将电路中的电容开路 电感短路 按照直流电阻电路的方法求解终值 二 求终值 三 时间常数 C ReqC L L Req 例1 t 0时 开关S打开 求t 0后的iL uL 解 1 求iL 0 有 2 将换路后电路中的电感元件断开 剩余部分的戴维南等效电路如图所示 可得 全响应 故 例2 t 0时 开关K闭合 求t 0后的iC uC及电流源两端的电压 解 这是RC电路全响应问题 有 稳态分量 全响应 例3 已知 t 0时合开关 求换路后的uC t 解 例4 t 0时 开关闭合 求t 0后的iL i1 i2 解 三要素为 三要素公式 三要素为 0 等效电路 例4 已知 t 0时开关由1 2 求换路后的uC t 解 三要素为 例5 已知 t 0时开关闭合 求换路后的电流i t 解 三要素为 已知 电感无初始储能 t 0时合S1 t 0 2s时合S2 求两次换路后的电感电流i t 0 t 0 2s 解 例6 1H t 0 2s 0 t 0 2s t 0 2s 7 5一阶动态电路的阶跃响应 1 单位阶跃函数 定义 单位阶跃函数的延迟 t 0合闸i t Is 在电路中模拟开关的动作 t 0合闸u t E 单位阶跃函数的作用 起始一个函数 延迟一个函数 用单位阶跃函数表示复杂的信号 例1 例2 例4 例3 例5 已知电压u t 的波形如图 试画出下列电压的波形 2 一阶动态电路的单位阶跃响应 指一阶电路在唯一的单位阶跃信号激励下所产生的零状态响应 用S t 表示 t 激励在t t0时加入 则响应从t t0开始 不要写为 注意 t 由于零状态响应为线性响应 满足齐性定理和叠加定理 则有 单位阶跃信号 单位阶跃响应 齐性定理 延时性 叠加定理 一 一阶动态电路的阶跃响应 零状态响应 求解步骤 1 求电路的单位阶跃响应 2 将电路中的激励表示成单位阶跃信号及其延迟信号的线性组合 3 根据线性电路的线性性质和延迟不变性求解对应阶跃响应 二 求初始储能作用下一阶电路的零输入响应 三 任意阶跃函数作用下的一阶电路的全响应 全响应 零状态响应 零输入响应 求图示电路中电流iC t 例 应用叠加定理 阶跃响应为 由齐次性和叠加性得实际响应为 分段表示为 分段表示为 例2 若上题所示电路中 uC 0 2V 求电路中iC t 解 由上题知 零状态响应为 零输入响应为 则 全响应为 一单位冲激函数 1 单位脉冲函数p t 7 6一阶电路的冲激响应 2 单位冲激函数 t 的定义 脉冲强度为k的冲激函数 3 单位冲激函数的延迟 t t0 脉冲强度为k的冲激函数的延迟 1 取样特性 筛分特性 同理有 f 0 t f t 在t0处连续 二单位冲激函数的特性 t0 例1 例2 0 推广 3 单位冲激函数与单位阶跃函数的关系 根据单位冲激函数的定义 得 从而 三 单位冲激响应 在单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应 单位冲激响应通常用h t 表示 t 0 电路响应是刚建立的初始状态产生的零输入响应 在单位冲激激励作用下 电路建立初始状态 使电容电压或电感电流发生跃变 储能元件得到能量 单位冲激响应的求解方法 方法一 零输入响应法 1 求解由 t 在t 0 时的初始状态 即 t 作用下引起的零状态响应 2 求解t 0时由这一初始状态所产生的零输入响应h t 注 计算 t 在t 0 到0 产生的初始状态 即uc 0 和iL 0 是关键 方法二 单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃响应 单位冲激响应 h t s t 单位冲激信号 t 单位阶跃信号 t uc不可能是冲激函数 否则KCL不成立 1 分二个时间段来考虑冲激响应 单位冲激电流使电容电压发生跳变 例1 如图所示电路 求在单位冲激电流 t 激励下的零状态响应 方法一 零输入响应法 转移电荷 2 t 0 零输入响应 RC放电 iL不可能是冲激函数 例2 如图所示电路 求在单位激励电流 t 激励下的零状态响应 2 t 0 RL放电 解 1 求单位阶跃响应s t uC 0 0 uC R RC 方法二 单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃响应电路 2 求单位冲激响应 冲激响应 阶跃响应 7 7二阶电路的零输入响应 uc 0 U0iL 0 0 已知 1 二阶动态电路的零输入响应 若以电容电压为变量 列电路方程 特征方程 电路方程 以电容电压为变量时的初始条件 uc 0 U0 iL 0 0 设 2 零输入响应的三种情况 过阻尼非振荡工作状态 临界阻尼非振荡工作状态 欠阻尼振荡工作状态 特征根 由初始条件得 U0 设 p2 p1 t 0 ic 0 t ic 0 ic 0t tm时ic最大 tm 2tm uL ic iC i为极值tm时 即uL 0时的t 计算如下 由duL dt可确定uL为极小时的t 能量转换关系 tm 2tm uL ic 0 t tmuc减小 i增加 t tmuc减小 i减小 过阻尼 状态下 电容电压单调衰减最终趋于零 始终为放电状态 放电电流由零增大 对应tm时刻达到最大 之后衰减到零 显然这种情况下uC和i是非振荡的 没有正 负交替状况 电路中的原始能量全部消耗在电阻上 uC ic始终不改变方向 uCic 0 电容放电 uL改变一次方向 t tm时 uL 0 t0 建立磁场 t tm电感释放能量 uLic 0 磁场逐渐衰减 趋向消失 整个过程完毕 uC 0 ic 0 uL 0 特征根为一对共轭复根 uc的解答形式 经常写为 A 为待定常数 间的关系 t 0时uc U0 uc零点 t 2 n 2 为衰减振荡角频率 越大 振荡周期越小 振荡加快 3 时 响应是振荡性 称为欠阻尼情况 反映振幅的衰减情况 为振荡的角频率 1 uC t 是衰减振荡 它的振幅随时间作指数衰减 为衰减系数 越大 衰减越快 uL零点 t 2 n ic零点 t 0 2 n 为uc极值点ic极值点为uL零点 ic uL 能量转换关系 0 t t t 在 欠阻尼 状态下 电容电压和电路中的充 放电电流均为减幅振荡 显然 这种情况下电场和磁场交替建立和释放 能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕 ic uL 特例 R 0时 等幅振荡 当电路中R 0时 各响应做无阻尼等幅自由振荡 由于电路中没有能量损耗 故电容与电感不断进行电场能量与磁场能量的交换 振荡一旦形成 就一直持续下去 永不消失 解出 小结 定常数 可推广应用于一般二阶电路 综上所述 RLC串联零输入电路中 随着电阻R从大到小变化 电路工作状态从过阻尼 临界阻尼到欠阻尼变化 直至R 0为无阻尼状态 其工作状态仅取决于电路的固有频率p1 p2 而与初始条件无关 电路如图 t 0时打开开关 求uc 并画出其变化曲线 解 1 uc 0 25ViL 0 5A 特征方程为 50P2 2500P 106 0 2 开关打开为RLC串联电路 图1 方程为 3 7 8二阶电路的零状态响应和阶跃响应 1 零状态响应 uc 0 0 iL 0 0 微分方程为 特解 通解 特解 求通解的特征方程为 uc uc解答形式为 例 求所示电路i的零状态响应 i1 i 0 5u1 i 0 5 2 i 2 2i 2 由KVL 整理得 二阶非齐次常微分方程 第一步列写微分方程 解 第二步求通解i 特征根为 P1 2 P2 6 解答形式为 第三步求特解i 稳态模型 由稳态模型有 i 0 5u1 u1 2 2 0 5u1 i 1A 第四步定常数 由0 电路模型 7 9二阶电路的全响应 已知 iL 0 2Auc 0 0 求 iL iR 1 列微分方程 2 求特解 解 3 求通解 特征根为 P 100 j100 4 定常数 特征方程为 5 求iR 或设解答形式为 定常数 小结 1 二阶电路含二个独立储能元件 是用二阶常微分方程所描述的电路 2 二阶电路的性质取决于特征根 特征根取决于电路结构和参数 与激励和初值无关 3 求二阶电路全响应的步骤 a 列写t 0 电路的微分方程 b 求通解 c 求特解 d 全响应 强制分量 自由分量 7 10二阶电路的冲激响应 二阶电路的冲激响应 在冲激函数激励下二阶电路产生的零状态响应 电路方程 0 t 0 电路受 t 作用获得能量 1 由 t 在t 0作用产生的uC 0 i 0 对电路方程两边取0 到0 的积分 则有 t 0 放电 满足二阶齐次微分方程 又此时uC不能跃变 仅才可能发生跃变 意义 t 在t 0 到0 间隔内使电感电流跃变 电感中储存一定的磁场能量 此磁场能量引起冲激响应 2 t 0 为零输入解 如果 即周期振荡衰减放电 冲激响应为 3 可以首先求出电路的单位阶跃响应 再对时间求导数就能得到单位冲激响应