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第一章 导数及其应用综合检测一、选择题1.物体运动的速度关于时间的方程为v=14t4-3,则t=5时的瞬时加速度为().A.5B.25C.125D.625【解析】v=t3,当t=5时,v=125.【答案】C2.已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】f(x)=32x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.【答案】A3.曲线y=-1x在点12,-2处的切线方程为().A.y=4xB.y=4x-4C.y=4x+4D.y=2x-4【解析】y=1x2,y|x=12=4,即k=4,切线方程为y+2=4x-12,即y=4x-4.【答案】B4.函数y=3x-x3的单调递增区间是().A.(0,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(1,+)【解析】y=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令y0,解得-1x0,在(0,+)上,f(x)的符号变化规律是负正负,故选A.【答案】A6.设曲线f(x)=1+cosxsinx在点2,1处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于().A.-1B.12C.-2D.2【解析】f(x)=(1+cosx)sinx-(1+cosx)(sinx)sin2x=-1-cosxsin2x,所以f2=-1.由题意知-1=1a,解得a=-1.【答案】A7.若直线l1:x+ay-1=0与l2:4x-2y+3=0垂直,则积分-aa (x3+sin x-5)dx的值为().A.6+2sin 2B.-6-2cos 2C.20D.-20【解析】由l1l2,得4-2a=0,即a=2,原式=-aa (x3+sin x-5)dx=-22 (x3+sin x)dx+-22 (-5)dx=0-20=-20.【答案】D8.函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数().A.2,32B.(,2)C.33,52D.(2,3)【解析】y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若y=f(x)在某区间内是增函数,则在此区间内y0.当x(,2)时,y0恒成立.【答案】B9.函数f(x)=x3+ax-2在区间1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是().A.3,+)B.-3,+)C.(-3,+)D.(-,-3)【解析】f(x)=x3+ax-2在1,+)上是增函数,f(x)=3x2+a0在x1,+)上恒成立,即a-3x2在x1,+)上恒成立.又g(x)=-3x2在1,+上的最大值为g(1)=-3,a-3,故选B.【答案】B10.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)1,则不等式f(x)x+1的解集为().A.(1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)【解析】不等式f(x)x+1可化为f(x)-x1,设g(x)=f(x)-x,由题意得g(x)=f(x)-10,且g(1)=f(1)-1=1,故原不等式等价于g(x)1.【答案】A11.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab,则必有().A.af(b)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)【解析】记g(x)=f(x)x,则g(x)=xf(x)-f(x)x2-2f(x)x20,故函数g(x)没有单调递增区间.由0ab得f(b)bf(a)a,即af(b)bf(a)(当f(x)=0时取等号),故选A.【答案】A12.若关于x的方程x3-3x+m=0在0,2上有根,则实数m的取值范围是().A.-2,2B.0,2C.-2,0D.(-,-2)(2,+)【解析】令f(x)=x3-3x+m,则f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x1时,f(x)0,f(x)单调递增,当-1x1时,f(x)0,f(x)单调递减.在x=-1处,f(x)取极大值f(-1)=m+2,在x=1处,f(x)取极小值f(1)=m-2.f(x)=0在0,2上有解,且f(0)2)(单位:N)的作用下,沿与力F相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)所做的功为J.【解析】W=04F(x)dx=0210dx+24 (3x+4)dx=10x02+32x2+4x24=46 J.【答案】4614.已知f(x)=2x3-6x2+3,对任意的x-2,2都有f(x)a成立,则a的取值范围为.【解析】由f(x)=6x2-12x=0,得x=0或x=2.当x-2,0)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x0,2时,f(x)0;奇函数f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在区间(-4,4)上单调递减.其中假命题的序号是.【解析】中,函数f(x)=x3在R上单调递增,没有极值点,错;中,f(x)=3ax2+2bx+c(a0),函数f(x)有极值点的充要条件是f(x)=0有两个不相等的实根,所以=4b2-12ac0,也即b2-3ac0,正确;中,f(x)是奇函数,则f(0)=0n=0.又由f(-x)=-f(x),得(m-1)x2=0,因此m=1,所以f(x)=x3-48x.当x(-4,4)时,f(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4)0).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)0在区间1,e上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)a=1,f(x)=x2-4x+2ln x,f(x)=2x2-4x+2x(x0),f(1)=-3,f(1)=0,切线方程为y=-3.(2)f(x)=2x2-2(a+1)x+2ax=2(x-1)(x-a)x(x0),令f(x)=0得x1=a,x2=1,若0a0,当x(a,1)时,f(x)1,则当x(0,1)或(a,+)时,f(x)0,当x(1,a)时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+),单调递减区间为(1,a).(3)由(2)可知,f(x)在区间1,e上只可能有极小值点,f(x)在区间1,e上的最大值必在区间端点取到,f(1)=1-2(a+1)0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a0,解得ae2-2e2e-2.20.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.记余下工程的费用为y万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.(1)试写出y关于x的函数关系式.(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=mx-1,所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+(2+x)m=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知,f(x)=-256mx2+12mx-12=m2x2(x32-512).令f(x)=0,得x32=512,所以x=64,当0x64时,f(x)0,故f(x)在区间(0,64)上为减函数;当64x0,故f(x)在区间(64,640)上为增函数.所以f(x)在x=64时取得最小值,此时,n=mx-1=64064-1=9,故需新建9个桥墩才能使y最小.21.已知函数f(x)=ln x+ax+1,a为常数.(1)若a=92,求函数f(x)在1,e上的值域.(e为自然对数的底数,e2.72)(2)若函数g(x)=f(x)+x在1,2上为单调递减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意f(x)=1x-a(x+1)2,当a=92时,f(x)=1x-92(x+1)2=(x-2)(2x-1)2x(x+1)2.x1,e,f(x)在1,2)上为减函数,在2,e上为增函数,又f(2)=ln 2+32,f(1)=94,f(e)=1+92e+2,比较可得f(1)f(e),f(x)的值域为ln2+32,94.(2)由题意得g(x)=1x-a(x+1)2+10在1,2上恒成立,a(x+1)2x+(x+1)2=x2+3x+1x+3恒成立,设h(x)=x2+3x+1x+3(1x2),当1x2时,h(x)=2x+3-1x20恒成立,h(x)max=h(2)=272,a272,即实数a的取值范围是272,+.22.已知函数f(x)=ax+ln x.(1)若f(x)的一条切线是y=-x+3,求f(x)的单调区间.(2)设函数g(x)=f(x)-1在e-1,e上有两个零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)显然x0,f(x)=-ax2+1x.设切点为(x0,y0),则f(x0)=-1,即-ax02+1x0=-1a=x02+x0.y0=f(x0)=ax0+ln x0=x0+1+ln x0,又y0=-x0+3.ln x0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2.由f(x)=-2x2+1x=x-2x2=0,得x=2.因此当0x2时,f(x)2时,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是(2,+).(2)由题意得g(x)=f(x)=-ax2+1x=x-ax2(x0),当a0时,g(x)0,g(x)在e-1,e上单调递增,因此不可能有两个零点;当a0时,易得g(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+).g(x)=f(x)-1=0在e-1,e上有两解e-1ae,g(e-1)=ea-20,g(a)=lna0,g(e)=ae0,解得实数a的取值范围是2e-1a1.
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