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第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过导数的基本运算过双基1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)3复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选B1；(log2x)；(3x)3xln 3；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故选B.2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)3函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A. B.C. D.解析：选D因为f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，所以a.4(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：35函数y的导数为_解析：y.答案：y清易错1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中n0且nQ*，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.1已知函数f(x)sin xcos x，若f(x)f(x)，则tan x的值为()A1 B3C1 D2解析：选Bf(x)(sin xcos x)cos xsin x，又f(x)f(x)，cos xsin xsin xcos x，tan x3.2若函数f(x)2xln x且f(a)0，则2aln 2a()A1 B1Cln 2 Dln 2解析：选Af(x)2xln 2，由f(a)2aln 20，得2aln 2，则a2aln 21，即2aln 2a1.导数的几何意义过双基函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)1.(2018郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：选B由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.2设函数f(x)xln x，则点(1,0)处的切线方程是_解析：因为f(x)ln x1，所以f(1)1，所以切线方程为xy10.答案：xy103已知曲线y2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为_解析：因为y4x，设切点为(m，n)，则4m2，所以m，则n22，则切点的坐标为.答案：4函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，则f(1)f(1)_.解析：因为函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，所以f(1)3，且f(1)3121，所以f(1)f(1)134.答案：4清易错1求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：选A因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切，可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1，所以选A.2.(2017兰州一模)已知直线y2x1与曲线yx3axb相切于点(1,3)，则实数b的值为_解析：因为函数yx3axb的导函数为y3x2a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3a，所以解得答案：3利用导数研究函数的单调性过双基1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f(x)的关系(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间上是增加的(2)若f(x)0或f(x)0.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间1函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是()A(1,2) B(2，)C(，1) D(，1)和(2，)解析：选A解f(x)6x218x120可得1x2，所以单调减区间是(1,2)2已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选D当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项符合题意3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围为()A(，2 B.C2，) D5，)解析：选C由题意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a2a2，故选C.清易错若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：利用导数研究函数的极值与最值过双基1函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值1如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点2若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a的值为()A2 B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22a(3)30，解得a5.3(2017济宁一模)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：选Af(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0)，因为函数f(x)x2axln x有极值，令g(x)x2ax1，且g(0)10，所以解得a2.答案：(2，)5设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意，f(x)3x24axa20，得x或a.又x12x2，x1，x2a，2a0可得x1或x1，由f(x)0可得1x0且a1)，若f(1)1，则a()AeB.C. D.解析：选B因为f(x)，所以f(1)1，所以ln a1，所以a.2直线ykx1与曲线yx2axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A1 B1C2 D2解析：选C由曲线yx2axb，得y2xa，由题意可得解得所以2ab2.3函数y2x33x2的极值情况为()A在x0处取得极大值0，但无极小值B在x1处取得极小值1，但无极大值C在x0处取得极大值0，在x1处取得极小值1D以上都不对解析：选Cy6x26x，由y6x26x0，可得x1或x0，即单调增区间是(，0)，(1，)由y6x26x0，可得0x1，所以m1.5函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：选D依题意得f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，f(x)的单调递增区间是(2，)故选D.6已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m()A0 B1C2 D3解析：选Bf(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2(xm)(3xm)由f(1)0可得m1或m3.当m3时，f(x)3(x1)(x3)，当1x3时，f(x)0，当x3时，f(x)0，此时在x1处取得极大值，不合题意，m1，此时f(x)(x1)(3x1)，当x 1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，此时在x1处取得极小值选B.7由曲线yx21，直线x0，x2和x轴所围成的封闭图形的面积是()A.(x21)dxB.|x21|dxC.(x21)dxD.(x21)dx(1x2)dx解析：选B作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx.8若函数f(x)的值域为0，)，则实数a的取值范围是()A2,3 B(2,3C(，2 D(，2)解析：选A当x0时，0f(x)12x0时，f(x)x33xa，f(x)3x23，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x1时，函数f(x)取得最小值f(1)13aa2.由题意得0a21，解得2a3，选A.二、填空题9若函数f(x)xaln x不是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xaln x不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)10已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：811已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx3，则f(1)f(1)_.解析：由题意知f(1)，f(1)13，f(1)f(1)4.答案：412已知函数g(x)满足g(x)g(1)ex1g(0)xx2，且存在实数x0，使得不等式2m1g(x0)成立，则实数m的取值范围为_解析：g(x)g(1)ex1g(0)x，令x1时，得g(1)g(1)g(0)1，g(0)1，g(0)g(1)e011，g(1)e，g(x)exxx2，g(x)ex1x，当x0时，g(x)0时，g(x)0，当x0时，函数g(x)取得最小值g(0)1.根据题意得2m1g(x)min1，m1.答案：1，)三、解答题13已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR.(1)若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)1(x0)，由已知及导数的几何意义得f(2)3，则a8.由切点P(2，f(2)在直线y3x1上可得2b7，解得b9，所以函数f(x)的解析式为f(x)x9.(2)由(1)知f(x)1(x0)当a0时，显然f(x)0，这时f(x)在(，0)，(0，)上是增函数当a0时，令f(x)0，解得x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当a0时，f(x)在(，)，(，)上是增函数，在(，0)，(0，)上是减函数(3)由(2)知，对于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立等价于即对于任意的a成立，从而得b，所以实数b的取值范围是.14已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导，得f(x)(x0)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度导数的几何意义5年7考求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分未考查导数的运算典例(1)(2018惠州模拟)已知函数f(x)cos x，则f()f()ABC D(2)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 018(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dcos xsin x(3)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1C1 De解析(1)f(x)cos x(sin x)，f()f(1).(2)f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 018(x)f2(x)cos xsin x，故选D.(3)由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案(1)C(2)D(3)B方法技巧1可导函数的求导步骤(1)分析函数yf(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案2求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错即时演练1(2018江西九校联考)已知y(x1)(x2)(x3)，则y()A3x212x6 Bx212x11Cx212x6 D3x212x11解析：选D法一：y(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11.法二：y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.2已知函数f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围；(4)切线的综合应用.角度一：求切线方程1已知函数f(x)ln(1x)xx2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_解析：f(x)12x，f(1)，f(1)ln 2，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln 2(x1)，即3x2y2ln 230.答案：3x2y2ln 230角度二：确定切点坐标2已知函数f(x)(x0)，直线l：xty20.若直线l与曲线yf(x)相切，则切点横坐标的值为_解析：由f(x)(x0)，得f(x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增根据直线l的方程xty2，可得l恒过点(2,0)当t0时，直线l：x2垂直于x轴，不与曲线yf(x)相切，舍去；当t0时，设切点A(x0，y0)，直线l可化为yx，斜率kf(x0)，又直线l和曲线yf(x)均过点A(x0，y0)，则满足y0x0，所以，两边约去t后，可得(x02)1，化简得x4x020，解得x02.综上所述，切点的横坐标为2.答案：2角度三：已知切线求参数值或范围3(2017武汉一模)已知a为常数，若曲线yax23xln x上存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.答案：4若两曲线yx21与yaln x1存在公切线，则正实数a的取值范围是_解析：设yaln x1的切点为(x0，y0)，求导y，则切线的斜率为，所以公切线方程为y(aln x01)(xx0)，联立方程yx21可得x2xaaln x00，由题意，可得24(aaln x0)0，则a4x(1ln x0)令f(x)4x2(1ln x)(x0)，则f(x)4x(12ln x)，易知，函数f(x)4x2(1ln x)在(0，)上是增函数，在(，)上是减函数，所以函数f(x)4x2(1ln x)的最大值是f()2e，则正实数a的取值范围是(0,2e答案：(0,2e角度四：切线的综合应用5已知函数f(x)mln(x1)，g(x)(x1)(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)在(1，)上的单调性；(2)若yf(x)与yg(x)的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值解：(1)F(x)f(x)g(x)(x1)，当m0时，F(x)0时，由F(x)0，得1x0，得x1，所以函数F(x)在上单调递增综上所述，当m0时，函数F(x)在(1，)上单调递减，当m0时，函数F(x)在上单调递减，在上单调递增(2)函数f(x)mln(x1)在点(a，mln(a1)处的切线方程为ymln(a1)(xa)，即yxmln(a1).函数g(x)在点处的切线方程为y(xb)，即yx.因为yf(x)与yg(x)的图象有且仅有一条公切线，即所以有唯一数对(a，b)，满足这个方程组，由得a1m(b1)2，代入消去a整理得：2mln(b1)mln mm10，关于b(b1)的方程有唯一的解，令h(b)2mln(b1)mln mm1，则h(b)，方程组有解时，m0，所以h(b)在上单调递减，在上单调递增，所以h(b)minhmmln m1，因为b，h(b)，b1，h(b)，所以只需mmln m10.令p(m)mmln m1，则p(m)ln m在m0时为单调递减函数，且m1时，p(m)0.所以p(m)maxp(1)0，所以m1时，关于b(b1)的方程2mln(b1)mln mm10有唯一解，此时ab0，公切线为yx.方法技巧利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解定积分及应用典例(1)(2018东营模拟)设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在(2)设f(x)则f(x)dx的值为()A. B.3C. D.3(3)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析(1)如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.(2) f(x)dxdx(x21)dx，因为 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则dx； (x21)dx，所以f(x)dx.(3)封闭图形如图所示，则dxxa0a2，解得a.答案(1)C(2)A(3)方法技巧求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：对被积函数要先化简，再求积分；求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分；注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错(2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分即时演练1(2018西安调研)定积分(2xex)dx的值为()Ae2 Be1Ce De1解析：选C(2xex)dx(x2ex)1e11e.故选C.2直线y2x3与抛物线yx2所围成封闭图形的面积为_解析：如图，由方程组可得x11，x23，故所求图形面积为S (2x3)x2dx1(2x3)dxx2dx(x23x) x3.答案：3如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为_解析：由图知长方形OABC的面积为e；函数yax过点(1，e)，则ae，所以曲线的方程为yex，A，D在直线y1x上，所以阴影部分的面积S(exx1)dxe，所以在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率P1.答案：11(2014全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得yx02，即a12，所以a3.2(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_解析：因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y|x1211，所以切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy103(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：yln x2的切线方程为：yxln x11(设切点横坐标为x1)，yln(x1)的切线方程为：yxln(x21)(设切点的横坐标为x2)，解得x1，x2，bln x111ln 2.答案：1ln 24(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.答案：8一、选择题1若axdx，则二项式6展开式中的常数项是()A20 B20C540 D540解析：选Caxdxx2，则6展开式的通项Tr1(3)rCx62r，令62r0可得r3，则常数项是T4(3)3C540.2(2018衡水调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay1，y，yx12，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.3(2018济南一模)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析：选C法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率为kf(x0)kOP.ln x01，x0e，k.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出yln x及曲线yln x经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2解析：选Df(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，直线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，又因为y0xmx0(m0)，解得m2，故选D.5(2018南昌二中模拟)设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范围为()A. B.C. D.解析：选C因为y3x2，故切线斜率k，所以切线倾斜角的取值范围是.6已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为()Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析：选Ay，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.二、填空题7若a和b是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)lg(ax24x4b)的值域为R的概率为_解析：由题意知所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f(x)lg(ax24x4b)的值域为R，所以ax24x4b取遍所有的正数，则化简可得如图所示，不等式所表示的图形的面积S2da1ln a212ln 2，所以所求事件的概率为.答案：8已知函数f(x)eaxbx(a0)在点(0，f(0)处的切线方程为y5x1，且f(1)f(1)12.则a，b的值分别为_解析：f(x)eaxbx，那么f(x)aeaxb，由得化简得(ea2)(a1)0，由a0，得a1，b6.答案：1,69(2017东营一模)函数f(x)xln x在点P(x0，f(x0)处的切线与直线xy0垂直，则切点P(x0，f(x0)的坐标为_解析：f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得f(x0)(1)1，即f(x0)1ln x011ln x00x01，f(x0)1ln 10，P(1,0)答案：(1,0)10设过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)mx3sin x上的一点处的切线l2，使l1l2，则m的取值范围是_解析：设曲线f(x)上任意一点A(x1，y1)，曲线g(x)上存在一点B(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)m3cos x.由题意可得f(x1)g(x2)1，且f(x1)ex11(，1)，g(x2)m3cos x2m3，m3因为过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)mx3sin x上的一点处的切线l2，使l1l2，所以(0,1)m3，m3，所以m30，且m31，解得2m3.答案：2,3三、解答题11已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由题意，及(1)可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)12已知函数f(x)x2ax(3a)ln x，aR.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy10垂直，求a的值；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，且x15.解：(1)f(x)xa，f(1)42a，由题意知42a，解得a.(2)证明：由题意知，x1，x2为f(x)0的两根，2a0，故h(a)在(2,3)上递增又h(2)25，a(2,3)，h(a)5，综上，f(x1)f(x2)5.1(2018广东七校联考)已知函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数yln x，x(0,1)的图象相切，则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x01，设切点为(t，ln t)，则切线l的方程为yxln t1，因为函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线l的斜率为2x0，则切线方程为y2x0xx，因为l也与函数yln x，x(0,1)的图象相切，则有则1ln 2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以该函数的零点就是x0，则排除A、B；又因为g(x)2x0，所以函数g(x)在(1，)上单调递增又g(1)ln 20，g()1ln 20，从而x02)，则(M，N).设g(x)x，x4，则g(x)10，所以g(x)在(4，)上单调递增，所以g(x)g(4).所以t22，所以0(M，N)0时，(x2)exx20.解：f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.利用导数研究函数单调性的应用 函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有：(1)yf(x)与yf(x)的图象辨识；(2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围；(4)构造函数解不等式.角度一：yf(x)与yf(x)的图象辨识1.已知函数f(x)ax3bx2cxd，若函数f(x)的图象如图所示，则一定有()Ab0，c0Bb0Cb0，c0Db0，c0，f(x)3ax22bxc，由函数的图象可知，函数f(x)有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f(x)0有两个大于0不同的实根，且a0，由根与系数的关系可得0，0，则b0.2.已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：选B由函数f(x)的导函数yf(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小角度二：比较大小3设定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(2x)f(x)，2，x1x2，则()Af(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：选C由f(2x)f(x)，可得
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