高等数学方法讲解(中国矿业大学王升瑞).ppt

1 高等数学方法 主讲教师 王升瑞 第一讲 2 唯有奋斗 最风流 惜时如金 3 培根说 历史使人聪明 诗歌使人机智 数学使人精细 马克思 一门科学只有当它达到了能够成功地运用 数学 才算真正发展了 伽利略认为 宇宙像一本用数学语言写成的大书 如果不掌握数学的语言 就像在黑暗的迷宫里游荡 华罗庚 数学是最宝贵的研究精神之一 科学家语录 什么也看不清 勤能补拙是良训 一分辛苦一分才 4 华罗庚 1910 1985 聪明在于勤奋 天才在于积累 学而优则用 学而优则创 由薄到厚 由厚到薄 注意问题 认真听课 扼要记录 多做题目 总结规律 5 此刻打盹 你将做梦 学习时的痛苦是暂时的 未学到的痛苦是终身的 学习这件事 不是缺乏时间 学习不是人生的全部 请享受无法回避的痛苦 哈佛图书馆的训诫 但是人生的一部分 只有比别人更早 更勤奋的努力 此刻学习 你将圆梦 而是缺乏努力 学习也无法征服 还能做什么呢 才能尝到成功的滋味 6 谁也不能随随便便成功 狗一样地学习 绅士一样地玩 今天不走 明天要跑 教育程度代表收入 哈佛图书馆的训诫 没有艰辛 便无所获 它来自彻底的自我管理和毅力 即使现在 对手也不停地翻动书页 7 科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 是由必然王国通向自由王国的桥梁 数学方法是数学的灵魂 高等数学方法 上 8 参考书 张晓宁 李安昌 高等数学方法中国矿业大学出版社 2002 9 目录 第一讲高等数学中的分析问题和解决问题方法第二讲研究函数与极限的基本方法第三讲导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲导数应用的方法第五讲积分学的概念 性质和不定积分的计算法第六讲定积分的计算 证明和解应用问题的方法第七讲试题类型及解题方法分析 10 前言 一 为什么要学 高等数学方法 参考前言第一段 1 科学方法的重要性 科学 是什么 为什么 技术 做什么 怎么做 科学方法 桥梁与钥匙 反映自然 社会 思维的客观规律的分科的 知识体系 进行物资资料生产所凭借的方法和能力 11 数学 思维的体操 科学的语言 生活的需要 思路 表达 应用 数学方法 对数学规律的认识 思维方法 解题方法 是数学的灵魂 2 数学方法的含义 12 二 高等数学方法 的结构与学习方法 参考前言第二 三段 第一部分 第一至第七章 每节包含 方法指导 实例分析 相关问题 第二部分 第八至第十一章 包括综述和提高 从古典数学向近代数学靠拢 学习方法 1 掌握数学内容和数学方法相结合 2 重视分析问题和解决问题的方法 3 学习要纵横结合 着眼于提高数学素养 13 第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题方法 14 一 数学模型及数学建模方法 P511 第一节 数学模型 客观实际问题内在规律性的数学 具有形式化 符号化 简洁化的特点 是一种高度抽象的模型 有狭义和广义两种解释 数学建模方法 实验归纳法 理论分析法 P514 物理模型 数学模型 求解和分析 结构 许多物理中的概念都要借助于高等数学中的 数学结构才能说的清楚 15 可无限逼近 例如 为什么用 及 语言定义极限 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A 圆内接正n边形的面积为 正整数 当 时 有 记作 精度要求 边数足够多 找出 利用极限知识可求出 16 测量圆面积 直接观测量为r 间接观测量为A 半径真值为 面积真值为 测量圆半径得 计算圆面积为 任给精度 要使 寻找精度 让 记作 17 又如 为什么用增量比的极限定义导数 运动规律 平均速度 速度函数 平均加速度 转动规律 平均角速度 电量函数 平均电流强度 质量分布 平均线密度 光滑曲线 割线斜率 描述变化率问题 18 再如 椅子稳定问题 P515 P516 假设 四条腿一样长 地面为连续曲面 建模 设A C两脚与地面的距离之和为 B D两脚与地面的距离之和为 不妨设 且对任意 有 证明存在 使 19 证明 设 又 由连续函数零点定理可知 存在 使 即 又知 所以 思考 对长方形板凳的稳定问题如何考虑 提示 相邻两脚之和 并旋转1800 20 二 几种常用的分析问题的方法 P444 455 1 简化方法2 直观分析法3 逆向分析法4 类比法 1 简化方法 复杂问题 简单问题 分解法变换法换元法递推法转化法 21 单调递减 提示 令 则转化为讨论下述函数 在t 0时单调递减 注意 说明1 与 具有相同的极值点 故可用后者代替前者讨论极值 2 有些复合函数的单调性问题 可利用组成它的简单 例1 证明 问题与单调性问题 函数链的单调性传递得出 如P445例1 22 设 求 提示 将函数化为 则 例2 23 2 直观分析法 通过特例或图形 寻找规律 方法和结论 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示 有关几何应用画出图形找几何关系 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论 24 的图形关于 例1 设定义在实数域上的函数 直线 及 对称 试证 为周期 函数 P 447例4 直观分析 任取一个实数 因此有 是周期为 的函数 它关于直线 的对称点为 而 关于直线 的对称点为 显然可猜想 25 的图形关于 例1 设定义在实数域上的函数 直线 及 对称 试证 为周期 函数 P 447例4 证 有 26 拉格朗日中值定理 1 在区间 a b 上连续 满足 2 在区间 a b 内可导 至少存在一点 使 思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 证 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 证毕 27 例2证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数 分析 由图可知 设辅助函数 C为任意常数 都可使F x 在 a b 上 因此所设辅助函数不唯一 满足罗尔定理条件 28 例3 如何求函数 的斜渐近线 分析 由图可知 若曲线 有斜渐近线 则必有 从而 29 例如 求曲线 的斜渐近线 解 所以曲线有斜渐近线 30 的斜渐近线方程 解 所求斜渐近线方程为 2 求曲线 2005考研 31 在 上连续 在 内 存在 连接两点 的直线交曲线 于 且 试证至少存在一点 使 提示 如图所示 有 在 上应用Rolle定理 对 P118题7 例4 已知 32 逆向思维 反推 执果溯因 反证 利用正命题与逆否命题等价 反例 找反例说明原命题不正确 3 逆向分析法 多用于否命题 33 设函数在 0 1 上二阶可导 且 证明至少存在一点 使 提示 设辅助函数 在 0 1 上满足Rolle定理 可知有 再对F x 在 从结论入手 注意到 利用 上用Rolle定理 例1 34 在上连续 在内可导 且 试证存在使得 提示 转化为证 上满足Lagrange定理条件 使 则只需证明 可见只要对 上用Cauchy中值定理 P450 考研98 由于 在 则有 及 在 例2 设函数 35 无实根 P451例7 提示 用反证法 假设有实根 代入 上式两边异号 矛盾 假设不真 利用 显然 则有 例3 证明方程 36 高等数学方法 主讲教师 王升瑞 第二讲 37 类比是找相似性 是发现问题和解决问题的重要方法 4 类比方法 38 计算极限 提示 类比下列极限 例1 P453例9 39 计算极限 提示 类比下列极限 例1 P453例9 40 练习 1 2 求下列极限 提示 如例1类推 41 练习 3 求下列极限 提示 42 利用Lagrange微分中值定理易推出 例2 证明下列不等式 43 提示 将不等式改写为 设 易证 44 提示 设 易证 45 说明 类似应用Cauchy中值定理易推出 若 则 利用此不等式可证明很多有用的不等式 例如 提示 原式可为 令 易证 在严格单调增加 只需证 46 在严格单调增加 易证 令 即 则 47 三 几种常用的证题方法 1 分析综合法 2 设辅助函数法 3 反证法 证明题是考核基本理论 基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型 通过 执果溯因 寻找证明的途径 利用 由因导果 写出证明过程 1 分析综合法 48 设为正实数 试证 提示 为 上的上凹函数 在上 P473例12 例1 满足 49 在上可导 且 证明至少存在 一点使 提示 方法1 因为 可考虑对函数 在区间 a b 上用Cauchy中值定理 P81例10 例2设 50 例2设 一点使 提示 令 方法2 故可考虑对 问题等价于证明 Rolle中值定理 在 a b 区间上用 在上可导 且 证明至少存在 即 51 利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法 如 寻找辅助函数一般用逆向分析法 通过设辅助函数 利用微分或积分中值定理证明等式或方程零点的存在 通过讨论辅助函数的单调性或最值 证明相关不等式 2 设辅助函数方法 52 例1 设 在上连续且可导 并有n个不同的 零点 证明 对任意常数a 在上至少有 提示 设辅助函数 n 1个不同的零点 53 设函数和在上二阶可导 且 提示 只要证 且 依据乘积导数法则想到设辅助函数 用反证法 再证明 上满足Rolle定理条件 试证至少存在一点 使 P475例15 考研95 例2 即 54 例3 设 在上二阶可导 且 证明 存在使 提示 只需证 即证 设辅助函数 证明 在 a b 上满足Rolle定理 55 设 求证 提示 方法1 设 证明它在 单调增 方法2 设 证明它在 单调减 例4 56 3 反证法 反证法是一种逆向分析方法 是通过否定命题的 结论 引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明 明原命题的正确性 反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较 困难的命题 如果所证结论中含有 不可能 不存在 至多 至少 唯一 大于 或 小于 等字眼时 一般多考虑用反证法 57 常用几个的初等函数公式 58 59 例1 证明不存在 为自然数 提示 假设 则 矛盾 P474例13 60 设在上存在二阶导数 且 又 试证在内 提示 假设存在 使 则由R0lle定理 有 使 再对 在 上用Rolle定理 就有 使 矛盾 P474例14 例2 61 例3 设函数 在内连续 且 证明在内至少有一点 满足 提示 用反证法 假设对于所有 都有 令 则F x 在内连续且 不变号 若 则 即 于是 与题设矛盾 几何上与x轴无交点