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坐标与距离公式一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 过点A(-1,0)，斜率为k的直线，被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23，则k的值为( )A. 33 B. 33 C. 3 D. 3（正确答案）A解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23，圆心到直线的距离为4-3=1，|2k|k2+1=1，k=33故选：A设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键2. 若两平行直线l1：x-2y+m=0(m0)与l2：2x+ny-6=0之间的距离是5，则m+n=( )A. 0 B. 1 C. -2 D. -1（正确答案）C解：由题意12=-2n，解得n=-4，即直线l2：x-2y-3=0，所以两直线之间的距离为d=|m+3|1+4=5，解得m=2，所以m+n=-2，故选C化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=|m+3|1+4=5，求出m，即可得出结论本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题3. 点P是曲线y=x2-1nx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值是( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 22（正确答案）B解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时，与直线距离最近；故令y=2x-1x=1解得，x=1；故点P的坐标为(1,1)；故点P到直线y=x-2的最小值为|1-2-1|1+1=2；故选：B画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时，然后求解即可本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用，平行线之间距离的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题4. 曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为( )A. 5 B. 25 C. 35 D. 2（正确答案）A解：设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0设切点为P(x0,y0)，y=2x，斜率2x=2，解得x0=1，因此y0=2ln1=0切点为P(1,0)则点P到直线2x-y+3=0的距离d=|2-0+3|22+(-1)2=5曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是5故选：A设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0.设切点为P(x0,y0)，利用导数的几何意义求得切点P，再利用点到直线的距离公式即可得出本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题5. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cos,sin)到直线x-my-2=0的距离.当、m变化时，d的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（正确答案）C解：由题意d=|cos-msin-2|12+m2=|m2+1sin(+)-2|m2+1，tan=-1m，当sin(+)=-1时，dmax=1+2m2+13d的最大值为3故选：C由题意d=|cos-msin-2|12+m2=|m2+1sin(+)-2|m2+1，当sin(+)=-1时，dmax=1+2m2+13.由此能求出d的最大值本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6. 圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 22（正确答案）C解：圆(x+1)2+y2=2的圆心为(-1,0)，圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d=|-1+3|2=2故选：C先求出圆(x+1)2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用7. 已知M为曲线C：y=sinx=3+cos(为参数)上的动点.设O为原点，则|OM|的最大值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（正确答案）D解：曲线C：y=sinx=3+cos(为参数) 转化为：(x-3)2+y2=1，则：圆心(3,0)到原点(0.0)的距离为3，故点M到原点的最大值为：3+1=4故选：D直接把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的转化，两点间的距离公式的应用8. (理科)已知两点A(0,-3)，B(4,0)，若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点，则ABP面积的最小值为( )A. 6 B. 112 C. 8 D. 212（正确答案）B解：求ABP面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径直线AB的方程为x4+y-3=1，即3x-4y-12=0，圆x2+y2-2y=0，即x2+(y-1)2=1，圆心为(0,1)，半径为1 圆心到直线AB的距离为d=|-4-12|5=165，P到直线AB的最小值为165-1=115 |AB|=5，ABP面积的最小值为125115=112 故选B求ABP面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.利用三角形的面积公式可得结论本题考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9. 设两条直线的方程分别为x+y+a=0和 x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0c18，则这两条直线间距离的最大值为( )A. 24 B. 22 C. 12 D. 2（正确答案）B解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=-1，ab=c，两条直线之间的距离d=|a-b|2，所以d2=(a+b)2-ab2=1-4c2，因为0c18，所以121-4c1，即d214,12，所以两条直线之间的距离的最大值是22故选：B利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力10. 已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=5，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为( )A. 32 B. 52 C. 4 D. 5（正确答案）B解：F是抛物线y2=4x的焦点F(1,0)准线方程x=-1，设A(x1,y1) B(x2,y2) |AF|+|BF|=x1+1+x2+1=5 解得x1+x2=3，线段AB的中点横坐标为32 线段AB的中点到该抛物线准线的距离为52故选B根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离11. 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x+y+a=0与点A(0,2)，若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是( )A. (-5-1,5-1) B. -5-1,5-1C. (-22-1,22-1) D. -22-1,22-1（正确答案）D解：设M(x,-x-a)，直线l：x+y+a=0，点A(0,2)，直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，x2+(x+a)2+x2+(-x-a-2)2=10，整理，得4x2+2(2a+2)x+a2+(a+2)2-10=0，直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，方程有解，=4(2a+2)2-16a2+(a+2)2-100，解得：-22-1a22-1，故选：D设M(x,-x-a)，由已知条件利用两点间距离公式得x2+(-x-a)2+x2+(-x-a-2)2=10，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用12. 设m，R，则(22-m-cos)2+(22+m-sin)2的最小值为( )A. 3 B. 4 C. 9 D. 16（正确答案）C解：令点P(22-m,22+m)，Q(cos,sin) 点P在直线x+y-42=0上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1因此(22-m-cos)2+(22+m-sin)2的最小值为：单位圆上的点到直线x+y-42=0的距离的平方，故其最小值=(422-1)2=(4-1)2=9故选：C令点P(22-m,22+m)，Q(cos,sin).点P在直线x+y-42=0上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1.因此(22-m-cos)2+(22+m-sin)2的最小值为：单位圆上的点到直线x+y-42=0的距离的平方，即可得出本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知实数x，y满足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值为_（正确答案）5【分析】由题意得，所求的最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离.本题考查x2+y2的意义，以及点到直线的距离公式的应用，其中明确x2+y2表示直线2x+y+5=0上的点与原点的距离，是解决问题的关键，属中档题【解答】解：x2+y2 表示直线2x+y+5=0上的点与原点的距离，其最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离|0+0+5|4+1=5，故答案为514. 已知mR，若点M(x,y)为直线l1：my=-x和l2：mx=y+m-3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|MB|的最大值为_ （正确答案）5解：动直线l1：my=-x过定点A(0,0)，动直线l2：mx=y+m-3化为m(x-1)-(y-3)=0，得x=1，y=3.过定点B(1,3)此两条直线互相垂直，|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，102|MA|MB|，|MA|PM5，当且仅当|MA|=|MB|时取等号故答案为：5求出定点A，B的坐标，由于此两条直线互相垂直，可得|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性质即可得出本题考查了直线系、相互垂直的直线位置的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 直线y=9-tx=-1+t(t为参数)被圆y=5sin-1x=5cos+3(为参数)所截得的弦长为_（正确答案）27解：由y=9-tx=-1+t，得x+y-8=0，由y=5sin-1x=5cos+3，得y+1=5sinx-3=5cos，两式平方作和得：(x-3)2+(y+1)2=25圆心坐标为(3,-1)，半径为5圆心到直线的距离d=|13+1(-1)-8|2=62=32直线被圆所截弦长为2r2-d2=225-18=27故答案为：27分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是基础题16. 已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值为_（正确答案）1解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且OAOB=11cosAOB=12，即有AOB=60，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的几何意义为点A，B两点到直线x+y-1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2AB=1，即|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值为1，故答案为：1设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的几何意义为点A，B两点到直线x+y-1=0的距离d1与d2之和，由两点的距离最短可得所求最大值本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知曲线C1：x=-4+costy=3+sint(t为参数)，C2：x=8cosy=3sin(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t=2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：y=-2+tx=3+2t(t为参数)距离的最小值（正确答案）解：(1)把曲线C1：x=-4+costy=3+sint(t为参数)化为普通方程得：(x+4)2+(y-3)2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,3)，半径1的圆；把C2：x=8cosy=3sin(为参数)化为普通方程得：x264+y29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；(2)把t=2代入到曲线C1的参数方程得：P(-4,4)，把直线C3：x=3+2ty=-2+t(t为参数)化为普通方程得：x-2y-7=0，设Q的坐标为Q(8cos,3sin)，故M(-2+4cos,2+32sin)所以M到直线的距离d=|4cos-3sin-13|5=|5sin(-)-13|5，(其中sin=45，cos=3535)从而当cos=45，sin=-35时，d取得最小值855(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题18. 已知抛物线C:y2=2px(p0)上的点M到直线l:y=x+1的最小距离为 .点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A，B求抛物线方程当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积（正确答案）【小题1】设y=x+b与抛物线y2=2px(p0)相切，且与l：y=x+1的最小距离为，则所以p=1或p=0(舍去)，所以抛物线方程为y2=2x【小题2】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x0,y0)，则过点A的切线方程为yy1=x+x1，点N在直线上，故有y0y1=x0+x1，同理，y0y2=x0+x2，故直线AB的方程为y0y=x0+x，y0=x0+1代入整理可得(y-1)x0+y-x=0，所以AB恒过(1,1)，点O到直线AB距离最大，显然直线AB的方程为y=-x+2，代入抛物线方程，整理得x2-6x+4=0，所以x1+x2=6，x1x2=4，所以AB=所以原点O到直线AB的距离最大时，三角形OAB的面积为【小题1】略【小题2】略19. 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为sin=-1，曲线C2的参数方程为y=-2+2sinx=2cos(为参数)，设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)已知直线l：x-y+2=0，点P在曲线C2上，求点P到l的距离的最大值（正确答案）解：(1)曲线C1的极坐标方程为sin=-1，转化为C1的直角坐标方程为y=-1，曲线C2的参数方程为y=-2+2sinx=2cos(为参数)，转化为C2的普通方程为x2+(y+2)2=4由x2+(y+2)2=4y=-1，得x=3y=-1或x=-3y=-1又(3)2+(-1)2=2,-13=-33=tan(-6),-1-3=33=tan76，所以C1与C2的交点极坐标为(2,-6)与(2,76)(2)圆C2的圆心(0,-2)到直线l的距离为d=2+22=22，圆半径为2所以点P到l的距离的最大值为22+2(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.进一步建立方程组，求出结果(2)直接利用点到直线的距离公式求出结果本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，二元二次方程组的解法，点到直线的距离公式的应用
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