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第6节二次函数与幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数图象与性质1,2,7,9,10二次函数图象与性质3,4,5,6,8,15二次函数、幂函数的综合应用11,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017贵州模拟)幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是(D)(A)偶函数,且在(0,+)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数解析:设幂函数的解析式为y=x,将(3,)代入解析式得3=,解得=,所以y=.故选D.2.(2017厦门二模)幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),则f(x)的解析式为(B)(A)f(x)=2x(B)f(x)=x2(C)f(x)=2x(D)f(x)=log2x+3解析:设幂函数为f(x)=xa,由y=f(x)的图象经过点(2,4),可得4=2a,解得a=2,所以幂函数的解析式为f(x)=x2.故选B.3.(2017湖州期中)已知a,b, cR,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=f(3)f(4),则(B)(A)a0,4a+b=0(B)a0,2a+b=0(D)af(4),在(2,+)上f(x)为减函数,所以开口向下,a0的解集为(B)(A)(-2,1)(B)(0,3)(C)(-1,2(D)(-,0)(3,+)解析:根据f(x)的图象可得f(x)0的解集为x|-1x0的解集为(0,3).故选B.5.函数f(x)=x2-2x-1,x-3,2的最大值、最小值分别为(A)(A)14,-2(B)14,-1(C)2,-2(D)7,-2解析:因为函数f(x)= x2-2x-1=(x-1)2-2,x-3,2,函数的对称轴是x=1,故函数f(x)在-3,1)递减,在(1,2递增,所以当x=1时,函数取得最小值为-2,当x=-3时,函数取得最大值为14.故选A.6.导学号 38486037(2017辽宁本溪模拟)对于任意a-1,1,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是(B)(A)x|1x3(B)x|x3(C)x|1x2(D)x|x2解析:原题可转化为关于a的一次函数y=a(x-2)+x2-4x+40在-1,1上恒成立,只需x3.故选B.7.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+)上为增函数,则m= .解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不满足题意,应舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+)上是增函数,满足题意.所以实数m的值为2.答案:28.(2017湖北期中)已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(-,5上为减函数,则实数a的取值范围为.解析:函数f(x)=x2-2(a-1)x+2的图象是开口方向朝上,以x=a-1为对称轴的抛物线,若函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(-,5上是减函数,则a-15,解得a6.答案:6,+).能力提升(时间:15分钟)9.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为(B)(A)-3(B)1(C)2(D)1或2解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,当n=1时,函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+)上是减函数,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数f(x)=x18为偶函数,其图象关于y轴对称,而f(x)在(0,+)上是增函数,所以n=-3不满足题意,舍去.故选B.10.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,满足0,ab0,则f(a)+f(b)的值(A)(A)恒小于0(B)恒大于0(C)等于0 (D)无法判断解析:由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3;当m=-1时,f(x)=x-3.对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,满足0,ab0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒小于0.故选A.11.导学号 38486038(2018浙江模拟)已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围为(B)(A)-,(B)1,(C)2,3 (D)1,2解析:由于函数f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t,函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-,1上单调递减,所以t1.则在区间0,t+1上,0离对称轴x=t最远,故要使对任意的x1,x20,t+1,都有|f(x1)-f(x2)|2,只要f(0)-f(t)2即可,即1-(t2-2t2+1)2,求得-t.再结合t1,可得1t.故选B.12.(2017上海模拟)函数f(x)=2x+2-34x,x(-,1)的值域为 .解析:f(x)=2x+2-34x=42x-3(2x)2=-3(2x-)2+,x(-,1);所以2x(0,2),令2x=t,t(0,2),则y=-3(t-)2+;所以t=时,y取最大值,t=2时,y=-4;因为t-4,所以-4y.答案:(-4,13.导学号 38486039定义:如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间a,b上存在x0(ax0b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是a,b上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y=x4是-1,1上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是-1,1上的平均值函数,则实数m的取值范围是.解析:因为函数f(x)=-x2+mx+1是-1,1上的平均值函数,设x0为均值点,所以=m=f(x0),即关于x0的方程-+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,解方程得x0=1或x0=m-1.所以必有-1m-11,即0m0,则实数a的取值范围是.解析:=4(a-2)2-4a=4a2-20a+16=4(a-1)(a-4).(1)若0,即1a0在R上恒成立,符合题意;(2)若=0,即a=1或a=4时,方程x2-2(a-2)x+a0的解为xa-2,显然当a=1时,不符合题意,当a=4时,符合题意;(3)当0,即a4时,因为x2-2(a-2)x+a0在(-,1)(5, +)上恒成立,所以解得3a5,又a4,所以40,则-x0),所以f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,当a+11,即a0时,g(1)=1-2a为最小值;当1a+12,即02,即a1时,g(2)=2-4a为最小值.综上,g(x)min=
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