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课时跟踪训练(十二) 函数与方程基础巩固一、选择题1若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0B小于0C等于0D不能确定解析若函数f(x)在(2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f(2)f(2)0，故选D.答案D2若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A0BC0或D2解析当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0，解得a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点答案C3(2017湖北襄阳四校联考)函数f(x)3xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3解析由题意知f(x)单调递增，且f(0)10210，即f(0)f(1)0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点答案B4(2018长沙模拟)已知函数f(x)lnxx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析f(1)120，f(2)ln20ln21e，f(3)0，故x0(2,3)，选C.答案C5(2017辽宁大连二模)已知偶函数yf(x)(xR)满足f(x)x23x(x0)，若函数g(x)则yf(x)g(x)的零点个数为()A1B3C2D4解析作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同交点，所以函数yf(x)g(x)有3个零点，故选B.答案B6(2017河北承德模拟)若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.BC(，0)D(，0)解析由题意知，当x0时，函数f(x)有1个零点，即2x2a0在x0上有根，所以02a1解得00时函数f(x)有2个零点，只需解得a，综上可得实数a的取值范围是a.答案B二、填空题7已知函数f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x02，那么下一个有根区间为_解析f(1)313820，f(3)3398280，故下一个有根区间为(1,2)答案(1,2)8(2017四川绵阳模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_解析由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0a0时，方程ax30有解，故a0，所以当x0时，需满足即0a0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根图(1)解(1)作出g(x)x(x0)的大致图象如图(1)可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，图(2)作出g(x)x(x0)的大致图象如图(2)f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)能力提升11(2017云南昆明一模)设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23.若函数f(x)，g(x)的零点分别为a，b，则有()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0解析易知函数f(x)，g(x)在定义域上都是单调递增函数，且f(0)10，g(1)20，所以a，b存在且唯一，且a(0,1)，b(1,2)，从而f(1)f(b)f(2)，g(0)g(a)0，g(a)0，即g(a)0f(b)答案A12(2017甘肃省兰州市高三诊断)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象有两个不同的公共点，则实数a的值是()An(nZ)B2n(nZ)C2n或2n(nZ)Dn或n(nZ)解析依题意得，函数yf(x)是周期为2的偶函数，在0,2)上，由图象(图略)易得，当a0或时，直线yxa与函数yf(x)的图象有两个不同的公共点，函数f(x)的周期为2，a的值为2n或2n(nZ)答案C13(2017陕西省宝鸡市高三一检)设函数f(x)若函数yf(x)k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是_解析当x；当x1时，log2x0，依题意函数yf(x)的图象和直线yk的交点有两个，k.答案14(2017云南省高三统一检测)已知yf(x)是R上的偶函数，对于任意的xR，均有f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)(x1)2，则函数g(x)f(x)log2017|x1|的所有零点之和为_解析因为函数f(x)是偶函数，f(x)f(2x)，所以f(x)f(x)f(x2)，所以函数f(x)的周期为2，又当x0,1时，f(x)(x1)2，将偶函数ylog2017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数ylog2017|x1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作函数yf(x)与ylog2017|x1|的图象(图略)，函数g(x)的零点，即为函数yf(x)与ylog2017|x1|图象的交点的横坐标，当x2018时，两函数图象无交点，又两函数图象在1,2018上有2016个交点，由对称性知两函数图象在2016,1上也有2016个交点，且它们关于直线x1对称，所以函数g(x)的所有零点之和为4032.答案403215(2018烟台模拟)已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4lnx2(x0)，g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)上单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)上仅有1个零点延伸拓展(2017郑州市高三一测)对于函数f(x)与g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_解析易知函数f(x)为增函数，且f(2)e22230，所以函数f(x)ex2x3只有一个零点x2，则取2，由|2|1，知13.由f(x)与g(x)互为“零点密切函数”知函数g(x)x2axx4在区间1,3内有零点，即方程x2axx40在1,3内有解，所以ax1，而函数ax1在1,2上单调递减，在2,3上单调递增，所以当x2时，a取最小值3，又当x1时，a4，当x3时，a，所以amax4，所以实数a的取值范围是3,4答案3,4
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