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课堂达标(十四) 导数与函数的单调性A基础巩固练1(2018九江模拟)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.答案D2(高考课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，) D1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，)答案D3(2017浙江)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D.答案D4(2018湖南省永州市三模)已知函数f(x)x3ax2bx1在区间0,1上单调递减，mab，则m的取值范围是( )A. B.C. D3，)解析依题意，f(x)3x22axb0，在0,1上恒成立只需要即可，32a2b0，mab.m的取值范围是(，答案A5(2018长治模拟)函数f(x)x22mln x(m0)的单调递减区间为()A(0，)B(0，)C(，) D(0，)(，)解析由条件知函数f(x)的定义域为(0，)因为m0，则f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)答案B6(2018山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校)定义在(，0)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)6，则不等式f(lg x)5的解集为()A(，10) B(0,10)C(10，) D(1,10)解析由x2f(x)10，得f(x)0，设g(x)f(x)5，则g(x)f(x)，故g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，故g(x)0的解集为(0,1)，即f(x)5的解集为(0,1)，由0lg x1解得1x10，则所求不等式的解集为(1,10)，故选D.答案D7(2018青岛模拟)若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc_.解析f(x)3x22bxc，由题意知1x3是不等式3x22bxc0的解集，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.答案128(2018九江第一次统考)已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析f(x)x2a0在上恒成立，则2ax在上恒成立，因为max，所以2a，即a.答案9(2018衡水中学模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_.解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减，f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，x21，即x(，1)(1，)答案(，1)(1，)10已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)B能力提升练1(2018湛江一模)若函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A(2,0) B(0,1)C(1，) D(，2)解析由题意知，f(x)1，函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，当10时，bx2，又x(1,2)，b(1,4)，令f(x)0，解得x或x，即f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，b(1,4)，(，2)符合题意答案D2(2018河南新乡三模)定义在(0，)上的函数f(x)满足f(x)2(x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )Af(1) B. Cf(1) D. ，当f(x)(1)时，满足f(x)2(x)f(x)，易得f(1)2，1，1，f(1)，当f(x)(1)时，满足f(x)2(x)f(x)，易得f(1)2，1，1，f(1)，故A，C，D都错答案B3已知函数f(x)2x2ln x(a0)若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_.解析f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案1，)4若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解析f(x)x2exax，f(x)2xexa，函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解，设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，解得xln 2，则当x0，g(x)单调递增，当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递减，当xln 2时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22.答案(，2ln 225(2018山东省德州市四月二模文科)已知函数f(x)x22aln x(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)当a0时，讨论函数f(x)单调性；(3)是否存在实数a，对任意的m，n(0，)，且mn，有a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解(1)当a1时，f(x)x22ln x3x，f(x)x3.当0x1或x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)f(x)单调递减，所以x1时，f(x)极大值f(1)；x2时，f(x)极小值f(2)2ln 24.(2)当a0时，f(x)x(a2)，当a2，即a2时，由f(x)0可得0x2或xa，此时f(x)单调递增；由f(x)0可得2xa，此时f(x)单调递减；当a2，即a2时，f(x)0在(0，)上恒成立，此时f(x)单调递增；当a2，即2a0时，由f(x)0可得0xa或x2，此时f(x)单调递增；由f(x)0可得ax2，此时f(x)单调递减综上：当a2时，f(x)增区间为(0,2)，(a，)，减区间为(2，a)；当a2时，f(x)增区间为(0，)，无减区间；当2a0时，f(x)增区间为(0，a)，(2，)，减区间为(a,2)(3)假设存在实数a，对任意的m，n(0，)，且mn，有a恒成立，不妨设mn0，则由a恒成立可得：f(m)amf(n)an恒成立，令g(x)f(x)ax，则g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)0恒成立，即f(x)a0恒成立，x(a2)a0，即0恒成立，又x0，x22x2a0在x0时恒成立，amin，当a时，对任意的m，n(0，)，且mn，有a恒成立C尖子生专练已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，即m.所以m9.即实数m的取值范围是.
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