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二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )A. 13 B. 25 C. 23 D. 45（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为2323+231323+132323=2027，其中比赛进行了3局的概率为231323+132323=827，所求概率为8272027=25，故选B2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A=“4 个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P( A|B)=( )A. 29 B. 13 C. 49 D. 59（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为333=27种 所以小赵独自去一个景点的可能性为427=108种因为4 个人去的景点不相同的可能性为4321=24种，所以P(A|B)=24108=29故选A3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是( )A. 0.48 B. 0.6 C. 0.75 D. 0.8（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，p=0.60.8=34=0.75，故选：C设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足XB(3,0.6)，该同学通过测试的概率为C32(0.6)2(1-0.6)+C33(0.6)3=0.648故选：A判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是( )A. 35 B. 310 C. 23 D. 2750（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为B|A，由题意可得P(A)=0.9，P(AB)=0.6，由条件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.9=23，故选C活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题6. 在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A. 35 B. 25 C. 110 D. 59（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=610=35，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=65109=13，根据条件概率公式，得：P2=PP1=59，故选：D事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率.根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题.看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是( )A. 2158 B. 1229 C. 2164 D. 727（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256-24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=232256，恰好有两个盒子为空的放法有256-24-144-4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=84256，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p=p2p1=2158；故选：A根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率8. 在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A=x|0x12,B=x|14x34，则P(B|A)=( )A. 12 B. 14 C. 13 D. 34（正确答案）A解：根据题意，得AB=x|14x12，因此，事件AB对应的区间长度为14，结合总的区间长度为1，可得P(AB)=14 又A=x|0x12，同理可得P(A)=12 因此，P(B|A)=P(AB)P(A)=1412=12 故选：A 由题意，算出P(A)=12且P(AB)=14，结合条件概率计算公式即可得到P(B|A)的值本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设A为下雨，B为刮风，那么P(A|B)=( )A. 12 B. 34 C. 25 D. 38（正确答案）B解：由题意P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，P(A|B)=P(AB)P(B)=110215=34，故选B确定P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，再利用条件概率公式，即可求得结论本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为( )A. 119 B. 1718 C. 419 D. 217（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P(A|B)又P(AB)=P(A)=C52C202，P(B)=C52+C51C151C202，由公式P(A|B)=P(AB)P(B)=C52C52+C51C151=1010+75=217故选：D设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P(A/B).先求出P(AB)和P(B)的值，再根据P(A/B)=P(AB)P(B)，运算求得结果本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用11. 如图，ABC和DEF都是圆内接正三角形，且BC/EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在ABC内”，B表示事件“豆子落在DEF内”，则P(B|A)=( )A. 334B. 32C. 13D. 23（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以P=69=23，故选：D作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出P(B|A)本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键12. 下列说法中正确的是( ) 设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516 已知随机变量X服从正态分布N(2,2)且P(X4)=0.9，则P(0X2)=0.4 -101-x2dx=011-x2dx=4 E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=2D(X)+3A. B. C. D. （正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=C63(12)3(1-12)3=516，正确；随机变量服从正态分布N(2,o2)，正态曲线的对称轴是x=2P(X4)=0.9，P(2X4)=0.4，P(0X2)=P(2X5)=P(X-1)=0.2，则P(2X5)=P(X-1)=0.2，可得=5+(-1)2=2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称P(-1X5)=2P(2X5)=1-0.2-0.2=0.6，P(2X5)=0.3，故答案为：0.3由条件求得=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称.求得P(-1X5)=1-P(X5)的值，再根据P(-1X5)=2P(2X5)，求得P(2X5)的值本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为34，乙每次击中目标的概率23，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响()求甲至少有1次未击中目标的概率；()记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E；()求甲恰好比乙多击中目标2次的概率（正确答案）解：(I)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)=1-P(A1.)=1-(34)3=3764故甲至少有1次未击中目标的概率为3764；(II)由题意知X的可能取值是0，1，2，3P(X=0)=C30(14)3=164，P(X=1)=C3134(14)2=964，P(X=2)=C32(34)214=2764，P(X=3)=C33(34)3=2764，X的概率分布如下表：X0123P16496427642764EX=0164+1964+22764+32764=94(III)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件. P(A)=P(B1)+P(B2)=2764127+2764627=764甲恰好比乙多击中目标2次的概率为764(1)由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为34，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果(II)根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值(III)甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率是23.现从两个袋子中有放回的摸球(I)从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；()从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望（正确答案）解：()(i)由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：C53(13)3(23)2=40243(ii)由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：XB(5,13)，EX=513=53(II)随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：P(Y=0)=(1-13)3=827；P(Y=1)=13(13)2+(1-13)1313+13(1-13)2=727；P(Y=2)=13(1-13)2+(1-13)1313+13(1-13)2=1027；P(Y=3)=(1-13)1313=227；随机变量Y的分布列是：Y的数学期望是EY=119(I)(i)由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果(ii)由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案(II)由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1=23，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；(1)若P2=12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果E5，求P2的取值范围（正确答案）解：(1)P1=23，P2=12，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=(C212313)(C211212)+(2323)(1212)=13 (2)该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率P=(C212313)C21P2(1-P2)+(2323)(P22)=89P2-49P22 而B(12,P)，所以E=12P 由E5知，(89P2-49P22)125 解得：34P21(1)根据甲的命中率为P1=23，乙的命中率为P2=12，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)由已知结合(1)的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率(含参数P2)，由E5，可以构造一个关于P2的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P2的取值范围本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，(1)中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，(2)的关键是要根据E5，可以构造一个关于P2的不等式
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