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专题02 参数方程知识通关1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致（1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法;加减消元法;恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3常见曲线的参数方程普通方程参数方程过点M0(x0,y0),为直线的倾斜角的直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆心在原点，半径为r的圆x2y2r2(为参数)中心在原点的椭圆(ab0)(为参数)【注】（1）在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离（2）若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为(为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为(t为参数).基础通关1了解参数方程，了解参数的意义.2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.题组一 参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形【例1】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【解析】（1）直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.（2）因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离，解得2a2.题组二 参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题（2）对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题【例2】已知曲线C：，直线l：(t为参数). （1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【解析】（1）曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.（2）曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.故|PA|的最大值与最小值分别为，.能力通关1直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为(t为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB|t1t2|；(2)|MA|MB|t1t2|.2圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，可化繁为简利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（I）写出直线的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；（II）若，且直线与曲线C交于两点，求的值.【解析】（I）依题意，曲线C：，即，故曲线C的极坐标方程为；因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为曲线是直线，所以的最小值即点到直线的距离的最小值，易得点到直线的距离为，当且仅当时，取得最小值，即取得最小值，最小值为，此时点的直角坐标为【例3】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知是曲线上两点，且，求的取值范围.【解析】（1）曲线化为普通方程为：，由得，代入上式可知：曲线的方程为，即，曲线的极坐标方程为.高考通关1在平面直角坐标系中，直线（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）试判断直线与曲线是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.【解析】（1）由消去得，所以直线的普通方程为.由两边同乘以得，因为，所以，配方得，即曲线的直角坐标方程为.（2）法一：由（1）知，曲线的圆心为，半径为2，由圆心到直线的距离公式得到直线的距离，所以直线与曲线相交，设交点为、，所以.所以直线与曲线相交，其弦长为.法二：由（1）知，联立方程，得，消去得，因为，所以直线与曲线相交，设交点坐标为，由根与系数的关系知，所以，所以直线与曲线相交，其弦长为.2在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点P,与曲线C交于点Q(Q与原点O不重合),求的值【解析】（1）由消去t得直线的普通方程为,把,代入得直线l的极坐标方程为.（2）由题意可得,所以=.3已知在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求点的极坐标及曲线的参数方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，若，求直线的直角坐标方程.【解析】（1）在平面直角坐标系xOy中，点是第一象限内的点，且，点的极坐标为.曲线的极坐标方程为，由得，曲线的直角坐标方程为，即，曲线的参数方程为（为参数）.（2）显然直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，圆的半径为1，圆的圆心到直线的距离为，化简得，解得或，直线的直角坐标方程为或.4已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为（1）求直线的参数方程；（2）设与曲线为参数）相交于，两点，求点到，两点的距离之积（2）易得为参数）的普通方程为，点在直线上，把直线代入可得，即，显然，故点到，两点的距离之积为5在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）若曲线与曲线交于两点，求.【解析】（）消掉参数，得曲线的普通方程为，即.曲线的方程可化为：，显然，所以化为直角坐标方程为，化简得.方法二：将曲线的参数方程化为（为参数），并代入曲线的直角坐标方程，得，整理得.由求根公式解得，故.
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