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第2课时组合的综合应用学习目标：1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题(重点)2.能解决无限制条件的组合问题(难点)自 主 预 习探 新 知1组合的有关概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数用符号C表示，其公式为C.(m，nN*，mn)，特别地CC1.2组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关3应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算(4)结论：根据计算结果写出方案个数基础自测1以下四个命题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地C从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题2若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有() 【导学号：95032059】AA种B45种C54种 DC种D由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种3某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()AC种 BA种CAA种 DCC种D每个被选的人都无顺序差别，是组合问题分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法故共有CC种不同的选法4设集合Aa1，a2，a3，a4，a5，则集合A中含有3个元素的子集共有_个10从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C10个子集合 作 探 究攻 重 难无限制条件的组合问题现有10名学生，男生6人，女生4人(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？ 【导学号：95032060】思路探究首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意解(1)从6名男生中选2人的组合数是C15种(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合CC90种(3)从10名学生中选2名的组合数C45种规律方法解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏跟踪训练1有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有()A70个B80个C82个D84个A分两类分别求即可，共有CCCC304070.2若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答) 【导学号：95032061】140第一步，安排周六有C种方法，第二步，安排周日有C种方法，所以不同的安排方案共有CC140种有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？思路探究可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼使用两个计数原理解决解(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的取法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5 984种不同的取法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100种不同的取法有2 100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种不同的取法有2 555种(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的取法有6 090种规律方法常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解跟踪训练3某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法；根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法分组(分配)问题6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. 【导学号：95032062】思路探究(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”解(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC90种(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA360种方法；“1、1、4型”，有CA90种方法所以一共有9036090540种方法规律方法1分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键2分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象跟踪训练4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)36分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种所以满足条件的分配方案有A36(种)排列、组合的综合应用探究问题1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？提示共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？提示共有A210(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？提示由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. 【导学号：95032063】思路探究(1)按选中女生的人数多少分类选取(2)采用先选后排的方法(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表解(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种规律方法 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1按事情发生的过程进行分步2按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数跟踪训练5某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A360B520C600D720C分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA21024480种选法第二类，甲、乙都参加时，则有C(AAA)10(2412)120种选法所以共有480120600种选法当 堂 达 标固 双 基1某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A120B84C52D48C间接法：CC52种2编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有() 【导学号：95032064】A60种 B20种C10种 D8种C四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C10.3某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种 D20种B分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C6种方法；选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C4种方法，所以不同的赠送方法共有6410种，故选B.4在直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个225在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个5课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选. 【导学号：95032065】解(1)一名女生，四名男生，故共有CC350种选法(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165种选法(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选故共有CCCC825种选法或采用间接法：CC825种(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生故共有CCCCC966种选法
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